论《九章算术》与《几何原本》的特点

陈家欣

【摘 要】《九章算术》是中国古代数学著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系；《几何原本》是古希腊时期乃至整个人类历史上最重要的数学著作，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。

【关键词】九章算术；几何原本；代数；几何

引言

《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，是数学思想方法的两个源头。《九章算术》强调辩证思维，特别注重实事求是，理论联系实际。全书的246道题，都建立在与生活和生产相关的应用上，形成了以计算为中心的数学体系，对中国古算影响深远；而《几何原本》则相反，与生活和社会的实际问题无关，全书没有一道应用题，全部是纯粹的数学问题。两书同为古代数学的巨著，对近代数学的发展影响深远，那两书到底有着怎样不同的风格特点，本文将从以下三个方面来论述。

1.体系

《九章算术》开放的归纳体系，全书共246个与生产生活相关的算术题目，同一类型的计算问题化归为一章，共九章。现将各章内容简介如下：

第一章“方田”：田亩面积计算；（“方”面积单位）

第二章“粟米”：谷物粮食之间互相兑换；（“粟”谷物）

第三章“衰分”：比例分配；（“衰”按比例）

第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边宽广等；（“少”多少，“广”宽广）

第五章“商功”：土木工程、体积计算；（“商”度量，“功”工程）

第六章“均输”：合理摊派赋税；（“均”匀，“输”财物）

第七章“盈不足”：解应用；

第八章“方程”：一次方程组；（“程”程式）

第九章“勾股”：勾股定理；

基本包含了当时所有的数学分支，注重将数学与生活实践相结合起来，让数学来源于生活，更好的服务于生活。从思想的角度来看，《九章算术》主要是按照由个别到一般的归纳推理方式，《九章算术》体现观察—实验—归纳—分析—概括的数学研究方式，形成了以开放归纳为主的归纳体系。

《几何原本》封闭的演绎体系，全书共分13卷，共475个命题（包括5个公设和5个公理），现将各卷内容简介如下：

第一卷“几何基础”：5个公设与5个公理，边与角的大小关系，三角形与多边形面积相等的条件，毕达哥拉斯定理的正逆命题。

第二卷“几何与代数”：如何将三角形变成等积的正方形。

第三卷“圆与角”：阐述关于，圆，圆心角，圆周角，切线，割线，垂径，弦，直径的定理。

第四卷“圆与正多边形”：讨论圆内切与外切多边形的性质。

第五卷“比例”：讨论量与量之间的比例理论。

第六卷“相似”：阐述相似多边形理论。

第七、八、九、卷“数论”：阐述整数之间的性质。

第十卷“无理量”：主要讨论无理量与不可通约的量之间的关系。

第十一卷“立体几何”：讨论空间直线与平面平行、相交、重合的位置关系。

第十二卷“立体的测量”：讨论立体图形的体积与面积的性质。

第十三卷“建正多面体”：主要讨论五种正多面体。

从5个公设与5个公理出发，通过点、线、面和逻辑的基本方法，把当时所学几何内容都演绎推理出来，在形式上构成了一个封闭的演绎体系；从社会的发展角度，它并不能运用到生产实践中去，它全部是纯粹的数学问题，因而它对社会的各个领域都是一个演绎的封闭体系。

2.内容

《九章算术》算法化的内容，全书246个问题，主要属于初等代数内容，其中主要的是代数问题，其中含有少部分的几何问题也是用代数的形式处理的。所以《九章算术》就是一本以算法为中心的著作，全书没有命题，只有题目与方法，而且这些题目还是分门别类在《九章算术》的每一个章节中，这种重实践而轻理论的特点，造就了《九章算术》算法化的内容。

《几何原本》抽象化的内容，全书475个问题，主要属于初等几何内容，其中主要的是几何问题，其中含有少部分的代数问题也是用几何的形式处理的。所以《几何原本》就是一本以几何为中心的著作，全书探讨了數的若干性质，但是从不涉及到数的计算与应用，它重视实物的共性与抽象的理论，这种重理论轻实践的特点，造就了《几何原本》抽象化的内容。

3.方法

《九章算术》模型化的方法，从数学方法的角度来看，《九章算术》以社会实践与生活为基础，先在实践中观察出具有典型意义的生活原型，适当的用数学模型去表述问题，在数学模型里归纳出数学模型的共性，再分析给出可以运用的数学模型。《九章算术》这种以社会实践为基础，将其模型化为数学模型，然后用这个模型去解决更多问题的方法，就称之为模型化的方法。

《几何原本》公理化的方法，从数学方法的角度来看，《几何原本》以5个公设和5个公理为基本前提，紧接着给出了23个定义，再逐步的引入公理和定理，通过前面给出的公设与公理还有定义逐步的演绎推理出需证明的公理与定理。这种处理问题与知识体系的方法，就称之为公理化的方法。

【参考文献】

[1]张维忠.《九章算术》与《几何原本》比较——兼论其对数学教育的影响[J].西北师范大学学报（自然科学版），1996（04）：87-90.[2017-08-24]

[2]邓宗琦.《九章算术》与《几何原本》的比较研究[J].华中师范大学学报（自然科学版），1994（02）：263-268.[2017-08-24]

[3]游志林.论中国传统数学的特点[J].西部皮革，2016.38（24）：183.[2017-08-24]endprint