如何教学例题后的第一道习题

何月丰

【问题】

在备《长方体和正方体的表面积》这节课的时候，我发现教材在“计算长方体表面积”这道例题之后编排的第一道习题，有点不妥（题目如下）。

一是这道题从学生刚刚认识的“表面积”来讲，是“非常规”的——题中的表面积是计算5个面的面积的和。

二是这道题中提供的计算长方体表面积的数据——长0.75米、宽0.5米、高1.6米——虽然紧密联系了生活实际，但是会给计算带来不必要的麻烦。

当然，有人可能会觉得以上两点理由是很牵强的，尤其是第一点理由。甚至可能会觉得，只计算5个面是好事情，因为这对学生进一步理解长方体每个面所对应的数据很有促进作用。不可否认，在计算长方体的表面积时，有些题目不是算6个面，这样的习题，自然是需要，而且是需要反复练习的。

只是，我想再一次强调的是：这是例题后的第一道习题。也就是说，是这道习题所处的位置的特殊性，才让我感觉有点不妥。后续，我一定会让学生做一些这样的习题——以不同形式出现。

我的想法是：学生此时刚刚通过例题进行了一次长方体表面积的计算。特别是在学习例题时，明白了计算长方体的表面积，需要关注每个面所对应的数据（即选择长、宽、高）。那么，在此之后的第一道习题，更重要的任务是让学生试着把刚才学到的方法模仿着用一遍，而不是马上寻求变化。

出于以上考虑，我备课中并未将这道题作为例题后的第一道习题来使用，而是自编了一道题：长方体模型图（图略），标出长、宽、高（数据是10、8、4），计算这个长方体的表面积。

那么，以上想法是否真有道理？为此，我就这道习题进行了一点调查。

第一，我询问了同年级的几位数学教师关于这道习题的看法，他们的想法与我一致。特别是上课用了这道题作为例题后的第一道习题的教师，告诉我有些学生一下子没有明白题目的意思，而且计算“伤害”了很多人。

第二，为了更好地证明自己的想法，我找来了其他版本教材在这节课上对于例题后第一道习题的编排，并主要从习题对于计算表面积使用的数据、是否有直观图形支撑、需要计算的面数、是否有附加要求、问题的表述形式这样五个方面入手进行了梳理。通过对梳理的情况进行对比分析，我发现：

1.在“数据”上，7个版本的教材中，有3个版本教材在长、宽、高的数据上使用了小数，且苏教版习题中仅使用一个小数——2.5。同时还发现，所有版本教材的数据都小于20。特别是像青岛版、台湾版的教材，习题数据是极其简单的。由此可见，在这道题中，小数并不是很受欢迎，计算并不是这道题的重点。

2.在“图形”上，7个版本的教材中，有6个版本的教材提供了直观图进行支撑，只有浙教版教材没有提供直观图。由此可见，这道题不是简单地利用长方体表面积的计算公式进行数据代入计算，而是要学生在计算表面积过程中，通过观察图形，找准各个面所对应的数据，实现“面”与“数”的再次对接。

3.在“计算面数”上，7个版本的教材中，有5个版本的教材是计算6个面，只有2个版本的教材出现了少面的情况。由此可见，绝大部分教材在编排这道习题时，追求与例题匹配（注：以上版本教材例题都是计算6个面），不寻求变式。

4.在“附加要求”上，北师大版、青岛版、台湾版这3个版本的教材安排了在展开图上找相对面、计算独立面和根据长方体模型图选面的附加要求。分析发现，这些附加要求其实都是在促进学生对“面”与“数”的对接，以辅助理解为主。只有西南师大版编排的习题是一个底面为正方形的长方体灯笼（没有上下底面），附加了“不同算法”的高要求。由此可见，教材也在想办法尽可能降低这道习题的“难度”，促进学生理解。

5.在“问题表述”上，有4个版本教材直接用“表面积”作为要求，这与习题背景有关，因为它们都提供了模型图。习题用具体情境的，则都把“表面积”转换为“用料面积”了，这一点对学生理解是求“表面积”没有什么障碍。

综合以上五个方面的分析不难看出，更多教材对例题后第一道习题的编排，是倾向于匹配例题的，尽可能不作变化。

由此，我进一步肯定了自己一开始的想法：人教版教材在“计算长方体表面积”这道例题之后编排的第一道习题是不妥的。

【回溯】

人在一些事情上的经历，会对其今后面对类似这样的事情的处理产生影响。至少，在“例题后的第一道习题”这个问题上，我对此的感受是深刻的。

工作的前四年，我从三年级教到六年级。记得第一次教六年级时，同年级的老师就告诉我：学生在学分数乘除法应用题时，会让你教到“怀疑人生”。事实证明，确实如此。于是，当我第二次再教六年级时，便多了一个心。

六年级分数除法应用题，例题刚教完，我就出示了下面两道习题：

1.我国幅员辽阔，东西相距5200千米，东西距离是南北的。南北相距多少千米？

教过六年级分数乘除法应用题的老师，一定知道我这两道题的用意。现实正如我预想的一样，绝大部分学生在第二题上出现了“上当”现象。于是我抓住机会，引导学生对比、分析，从而弄清楚了两道题的区别。

当时，我是得意的。这种得意，一是因为学生如我所料“上当”了，二是因为我借此机会把两种题型“分析清楚”了。

但是，这种得意，并没有持续多久。

在上述两道习题之后，我又出示了两道习题（依旧是乘法和除法各一道，题略），作为巩固练习。原本以为这次学生应该可以区分清楚了。事实证明，我太天真了。大部分学生根本没有因为之前两道题的分析而厘清两种题的结构与解法，很多学生甚至连今天刚学习的类型也开始弄不清了，提早进入“乘除不分”阶段。

以上经历，给我留下了深刻的教训。

回顾上述经历，从经验来看，我非常明白学生在接下来要面临的学习困难，故想早一点借助一组对比练习，厘清分数乘除法两种问题的结构和解法，以帮助学生克服之后学习上将会遇到的困难。想法是好的，但事与愿违。究其原因，还是因为这组对比练习介入太早。例如，从数学建模的角度讲，新知学习后的练习应该是变换情境或材料，模型结构要实现与新知的对接和匹配，以帮助学生在练习中更好地建立模型、掌握方法，而不是对不同结构进行辨析。由此再来看上面的案例，在这组练习之前，学生刚刚学习了分数除法应用题，对此类问题的结构、分析、解答方法尚处于一个初步认识阶段，模型尚未很好地建立。那么，在这个阶段就介入学生本身就难以区分的对比练习，自然是“忙中添乱”，适得其反。

也就是在经历了这件事情之后，我开始非常关注例题之后的习题教学——尤其是例题之后的第一道习题。正是在这样的背景下，才有了我对人教版教材在“计算长方体表面积”例题之后的第一道习题编排的看法。

【对策】

基于自己的经历，特别是结合上述思考和分析，使我对如何教学例题后的第一道习题有了自己的认识。

1.在目标上——重在“试着用一次”，促进建模。

首先，数学被许多学者称为是关于“模式”的科学，数学学习的过程，就是一个不断“建模”的过程。其次，数学的教与学是离不开习题的，这是一个不争的事实，无需赘述。数学教学中的习题，根据其所处的位置、呈现的形式、难易的程度等，承载着不同的教学功能。

如此看来，例题后的第一道（组）习题，处在例题刚刚学习之后，也就是刚刚接触某一个数学模型。那么，此时练习的目标，就会指向于使学生“试着用一次”，以实现对例题中涉及的概念、性质、方法等知识与技能的再次“经历”，加深对其的记忆和理解，旨在促进数学模型的建立。

2.在设计上——重在与例题匹配，不求变式。

（1）关于结构。

例题后的第一道（组）习题，因为要促进学生对刚刚接触的数学模型的建立，因此其结构需与例题（模型）尽可能保持一致，不寻求变式。当然，需要在表述、数据、形式等方面略作变化。

（2）关于数量。

在上述中谈到了“一道或一组”的问题，这主要是因知识对象的不同而论的。像长方体表面积计算这样的知识，“一道”即可，像分数加法这样的知识，就需要一组，数量一般控制在2～3道题。

（3）关于来源。

这样的习题，最直接的来源，是教材的编排。当然，这需要我们对教材编排的例题进行仔细分析，即看其是否符合作为“例题后的第一道习题”的要求。如果发现教材习题不匹配，则需要教师自己改编或直接创编符合要求的习题。

当然，也有可能发生教材没有编排这样的习题的可能性，这就需要教师自己来补充这样的习题。举个例子：长方形面积计算，学生通过研究，得出了长方形面积计算公式，并知道了“长代表一行包含多少个面积单位，宽代表有这样的几行”。一般而言，教材的习题便是运用这个公式直接进行计算了。此时，就需要我们自己有意识地补充关于“长代表一行包含多少个面积单位，宽代表有这样的几行”这样的解答要求。例如，可出示一个长方形，先请学生说说看到长和宽的数据后，想到“一行能摆几个面积单位，能摆这样的几行”这样的要求。在学生经历了不同形状的长方形、不同面积单位的运用后，再开展直接运用公式的面积计算。这样的补充要求，是对长方形面积计算公式模型内涵的进一步巩固。

3.在使用上——重在对例题要素的再次表述。

例题后的第一道（组）习题，是非常简单的。但是，题虽简单，作用却很大。因此，要注意例题后的第一道（组）习题的使用，使其发挥应有的作用。

（1）解答要以学生独立思考为主。

例题后的第一道（组）习题，其位置处于例题刚刚学习之后，学生在解答时，一般只需要将例题中刚刚学到的方法进行迁移即可。这种迁移，正是此时习题的价值所在，是促进建模的有效手段。所以，对于例题后的第一道（组）习题，在解答时要以学生独立思考、分析为主，使学生在独立思考中，实现对例题知识的进一步理解和掌握，促进模型的建立。

（2）反馈要重在对例题要素的表述。

由于此时的习题是非常简单的，且学生练习又是趁热打铁，所以正确率一般会很高。但正确率绝对不是例题后的第一道（组）习题所要追求的结果。此时，即使全部正确，在反馈时，也要引导学生讲述自己的思考过程，特别是要对照例题中涉及的各个要素，实现再次理解。以“计算长方体表面积”为例，第一道习题我们使用的数据非常简单，并配合直观模型，学生看着计算都正确了。反馈时，依旧要请学生讲一讲某两个数相乘，是在计算那个面。这样，才能更好地实现此时习题的练习目标。

以上是我对于例题后的第一道（组）习题教学的一点看法。虽是极小的事，但值得我们引起重视。因为，这涉及到一步一个脚印扎实向前走的问题。