积累研究经验感悟数学思想——《钉子板上的多边形》教学设计（一）

周敏君

“钉子板上的多边形”是苏教版五年级上册的内容，属于“综合与实践”领域中的探索规律。学生之前已经学过多边形的面积、用字母表示数等知识，掌握了初步的探索规律的经验。通过探索钉子板上多边形面积的变化规律，引导学生经历研究过程，积累研究经验，感悟“数形结合”“符号化”等数学思想，感受数学规律的美妙和神奇，增强学生数学学习的信心和志趣。

【教学过程】

一、故事导入，引发猜想

1.故事引入，激发兴趣。

师：今天老师给大家带来了一个数学家的故事，想听吗？

（放录音：乔治·皮克是奥地利著名的数学家，出生于1859年。不知从什么时候开始，皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣。平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形来进行研究，最终还得到了一个实用且有趣的数学发现）

师：大家会在钉子板上围多边形吗？我们就来当一回小皮克，通过围多边形来探索其中的奥秘。

2.揭示概念，引出问题。

师：这节课我们就用这样的点子图来代替钉子板，瞧老师画的多边形，（出示图）边上用了10枚钉子，我们把这一位置的钉子叫做多边形边上的钉子。在图形内部也有许多钉子，它们就叫做多边形内的钉子。

师：那么，这个多边形的面积是多少？你有什么办法知道？

师：如果让你围一个多边形，和老师画的多边形比一比面积，可能有几种情况？

师：大家都感觉到了钉子板上多边形的面积有大有小，你猜想一下，这钉子板上多边形的面积大小可能会与哪些因素有关呢？

3.多元比较，辩证思考。

师：边上的钉子数越多，面积可能怎样？（越大）那么如果边上的钉子数一样，面积一定一样吗？老师给你们一组图。（如下图）边上都是4枚钉子，它们的面积一样吗？

师：你觉得钉子板上多边形的面积与什么有关？（与图内的钉子数有关）也就是说你们认为图内的钉子数越多，面积可能越大？是不是图内的钉子数一样，面积一定相等呢？再来看这样一组图。（如下图）

小结：通过刚才两次观察思考，我们知道图形边上的钉子数相等，面积不一定相等，图形内部的钉子数相等，面积也不一定相等。那么钉子板上多边形的面积与其边上的钉子数、内部的钉子数会有怎样的关系？大家想不想来深入研究一下？

【设计说明：钉子板上的平面图形是一种思维游戏，与现实生活联系不大，教学中如何激发学生的学习需求是教学设计的难点。因此，这一教学环节的设计以故事激趣，接着猜想因素，再观察思考，制造认知冲突，产生重重疑问，形成一个递进式的“问题化学习”场域，引领学生带着问题、带着困惑、带着渴望走进“深度学习”的课堂。这样，既充分激发了学生对未知世界的探究兴趣，又为学生积累发现和提出问题的经验创造了条件。】

二、层层深入，探寻规律

●活动1：探索内部只有1枚钉子的多边形的面积与其边上钉子数之间的关系。

引导学生快速口算出下图中多边形的面积。学生回答，教师依次出示答案。

图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚①②③④

师：大家一起来数一数每个多边形边上各有几枚钉子。（顺势填好上表）

师：观察这组数据你发现了什么？

小结：看来多边形的面积和它边上的钉子数有关。我们再从左到右来看看每组两个数据，看看多边形的面积和它边上的钉子数到底有什么关系呢？（多边形的面积是多边形边上钉子数的一半）

师：你是怎么发现的？（学生举例两组数据）

师：同学们真厉害，一下子就找到了它们之间的关系。为了方便，我们可以用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个字母式表示上面得到的关系吗？（S=n÷2）

师：通过观察比较，能够从不同的数据中找到相同点，发现它们内在的联系和规律。但我们只是通过这四个例子有所发现，只能说是一个初步的猜想，还需要列举更多的例子来进行验证。

师：是不是内部只有1枚钉子的多边形都符合这个发现呢？

师：拿出课前在点子图上任意画的几个多边形，请多边形内部只画有1枚钉子的同学介绍图形的面积、边上的钉子数分别是多少。其他同学也迅速地举例验证，看看是否符合刚才的发现，并找找有没有反例。

小结：刚才我们通过观察比较，从不同的多边形中找到它们的相同点，初步发现了这个规律，并再一次举例验证了这个发现，还用含有字母的式子来表示这个规律，得出了结论，（板书）大家真了不起！此时，你有没有新的问题产生？（内部2枚钉子、3枚钉子或更多枚钉子的多边形，面积与边上的钉子数又会有怎样的规律呢？）

【设计说明：本活动是规律探究的第一个阶段，也是本课教学的重要环节。通过引导学生研究“多边形内只有1枚钉子”的情况，发现“多边形的面积是多边形边上钉子数的一半”这一规律。本过程，看似内容单一、线索简单，但实际却引导学生经历了规律探索的完整过程：分析研究——提出猜想——充分验证——总结应用，并渗透了数形结合思想和符号化思想，为学生后续的规律探索提供了研究参照和方法导引，也为深入研究奠定了基础。】

●活动2：探索内部有2枚钉子的多边形的面积与其边上及内部钉子数之间的关系。

（1）合作交流，完成《探究单 1》。

先观察图形，将S、n和a填入表格中。

图形编号 多边形内部的钉子数 /枚（a）多边形边上的钉子数 /枚（n）多边形的面积/平方厘米（S）⑤⑥⑦

我发现的规律是：_________________

把你的发现和同伴说一说。

（2）数形结合，逐步抽象。

师：用字母表示，上面的规律可以归纳为：当a=2时，S=n÷2+1。（板书）

师：用这样的研究方法发现了在不同前提下的两条规律，把这两个规律比一比，它们有什么不同之处呢？（都有n÷2，不同的是一个还要+1）

师：为什么当a=2时要再加1呢？数学家华罗庚曾说“数形结合百般好”，我们就回到钉子板上来找找原因。

师：瞧，这个多边形内部是1枚钉子。（如右图）如果把这枚边上钉子的皮筋往下拉，原来边上的钉子就变成了内部的钉子，现在内部有2枚钉子，面积也发生了变化。另外三个图形也来变一变。（活动1中的多边形图）和原来的图形比一比，你又有什么发现？（边上的钉子数不变，中间的钉子数由1枚增加到2枚，面积增加了2个小三角，就是增加了1平方厘米）

师：你接着又能联想到什么？面积比内部1枚钉子的时候增加了？（当a=3时，S=n÷2+2）

师：继续想，再往下拉。S和n会有什么关系？（当 a=4时，S=n÷2+3）再往下拉呢？（当 a=5时，S=n÷2+4）

师：这三条规律（a=3、4、5）都是我们的猜想。有了猜想，你准备怎么做？（验证）

【设计说明：“为防思维成‘止水’，不妨投放些‘鲶鱼’”，无疑，这一环节是教学的难点，富有挑战性，这条“鲶鱼”是否活泼，关系到接下来更深入、更持久的研究与发现。由“多边形内只有1枚钉子”时的情况，延伸为“内部有2枚钉子”时的情况，看似仅仅是数量上增加了1，但实际却是将学生带入了更高层次的、增加了变量的一种研究。由2到3，再到4、5，顺利引导学生展开大胆猜想，此时的猜想是基于研究基础上的一种推理，一种大胆想象，巧妙将学生引入了更高层次的研究与验证活动。】

●活动3：探索内部是3、4、5枚钉子的多边形的面积与其边上钉子数之间的关系。

分组探究：完成《探究单2》。

（1）每个小组确定一个研究主题。

（2）在点子图上任意画一个符合主题的多边形。

（3）先用数格子或者面积计算公式算一算你所画的多边形的面积，再用猜测的规律进行计算，看看结果是否相同。

（4）请组长汇总小组成员间交流观察的数据，汇报成果。

【设计说明：高效的学习活动需要由扶到放，逐步开放、自主，逐步让学生成为完全的学习者。进入第三层次，当多边形内有3枚、4枚或5枚钉子时，它的面积与边上的钉子数的关系会怎样变化？学生基于之前的研究经验和研究方法，完全可以自主进行探索。开放的探究过程，学生不仅要按要求围出图形、算出面积，还要设计表格、记录数据、有序整理数据、得出规律。经历困惑与顿悟，享受成功的愉悦，充分经历规律探索的完整过程,使研究经验进一步丰富，研究热情充分激发。】

三、巧用推理，充分验证

师：下面我们步子跨大些。当a=100时，S=？你又准备怎么验证？还要再画图验证吗？为什么不要？可以怎么做？（推理）

师：我们可以观察这些验证过的规律，寻找出规律中的规律，再来推算。

师：从上往下观察，内部的钉子数在变化，面积也在变化，什么是不变的呢？

师：这样往下想，a=100，S=？99从哪儿来？后面加的数与a什么关系？

师：再往下推想，a=10000，S=？瞧，用推理一下子就得到了关系式，推理真神奇，作用可真大。像这样的规律，你能写出多少个？能用一个式子来概括出所有的情况吗？

师：可是仔细看，当a=1时，后面没有加上数啊？（写成S＝n÷2+0就更清楚了）

师：同学们，刚刚我们都是研究内部有钉子的情况，内部没有钉子的时候，S会等于什么呢？为什么是减1？是这样吗？自己选一个图形口头验证一下。

师：看来，当a=0时，S=n÷2-1也符合这个总的规律。

【设计说明：高效的课堂是一种引燃，引燃学生的探究热情、数学思维及对数学学习的无限渴望。本环节，教师并没有止步于发现的“规律”，而是引导学生展开想象，系统回顾，把所发现的规律全部融合于无穷的数系之中，让规律的理解更加深刻、更加全面、更加理性。多边形内部钉子数从具体可操作的1、2、3、4、5枚到相对抽象的100、10000枚，数字的跨度之大意味着思索钉子板上的多边形面积是一个极富思维挑战的过程，这样的过程，仅仅靠画图、操作等直观手段已无法实现，必须进行更为高级的数学活动——推理。《数学课程标准（2011版）》中指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式”。由此可见，推理有助于学生构建知识体系，而完善的知识体系又能进一步推动“智力发展”。】

四、回顾总结，交流体会

师：今天，我们一起探讨了钉子板上的多边形，知道了钉子板上的多边形面积和什么有关？它们之间还藏着一个简洁的关系式。同学们，这个规律其实是数学家乔治·皮克最先发现的，所以也被称为皮克定理。（播放录音：皮克定理是奥地利数学家乔治·皮克发现的，该定理被誉为有史以来“最重要的100个数学定理”之一）

师：发现的规律固然重要，但在今天发现规律的过程中，让你感受最深的是什么？（要认真观察、反复比较，发现规律后要反复验证）希望各位同学能将今天所收获的知识用在今后的学习中，去探索世界、发现世界。

【设计说明：这节课中，学生通过自己的活动将符号化的知识“打开”，将静态的规律“激活”，全身心地投入到规律探索的完整过程，既积累了活动经验，又深切感悟了数形结合思想、符号化思想等数学思想方法。环环相扣，步步深入，生动而富有挑战的探究活动不仅让学生发现了“规律”，验证了“规律”，提炼和表达了“规律”，更让学生收获了“规律”之外的美好与惊喜。】