复Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann模型分析解

张建影,闫广武,李 婷,3

(1.长春工业大学 数学与统计学院,长春 130012;2.吉林大学 数学学院,长春 130012;3.吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022)

复Ginzburg-Landau方程在许多物理领域中应用广泛[1-2].文献[3-4]研究表明,用格子Boltzmann方法(LBM)求解复Ginzburg-Landau方程具有简单有效、数值精度高等优点.该方法的思想是通过构造格子Boltzmann方程中的平衡态分布函数得到所模拟的宏观方程,通过寻找平衡态分布函数的矩函数给出平衡态分布函数与宏观量之间的变换,再进一步通过格子Boltzmann方程给出下一时刻的分布函数[5].在某种条件下,上述分布函数存在分析解[6-7].本文利用Chapman分析方法,给出系列偏微分方程以及Chapman多项式的一般形式,通过求解复Ginzburg-Landau方程的平衡态分布函数,给出不同时间尺度上的分布函数表达式,从而不需要格子Boltzmann方程迭代可以直接给出分布函数,进而得到复Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann分析解.

1 系列偏微分方程及Chapman多项式

考虑二维的FHP(Frisch-Hasslacher-Pomeau)网格,在位置x、时刻t定义具有粒子速度eα的复分布函数Fα(x,t),其实部和虚部可视为两种单粒子分布.复变量A(x,t)定义为

(1)

为得到稳定的宏观量A(x,t),假设分布函数Fα(x,t)具有平衡态,即

(2)

定义Knudsen数ε=l/L,其中:l为粒子平均自由程;L为特征长度.选择时间步长Δt与Knudsen数相等[3],则复格子Boltzmann方程为

(3)

其中: 实常数τ为单松弛时间因子；变量ωα(x,t)为非碰撞项,表示分布函数的增量, 假设其具有多尺度形式：

(4)

在小Knudsen数的假设下,对Fα(x,t)做Chapman-Enskog展开,得

(5)

(6)

引入时间多尺度t0,t1,…,满足

tn=εnt,n=0,1,…,

(7)

将式(5),(7)代入式(3),并做Taylor展开,可得前6个不同时间尺度上的系列偏微分方程[3]：

在方程(8)～(13)中,

(14)

ωα(x,t)=ε2θα(x,t),

(15)

则由式(8),(9)可得到系列偏微分方程的一般表达式:

(16)

其中:

(17)

表达式(16)对于i>6的情形仍然成立.

2 复Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann模型

其中:δkj表示Kronecker符号;λ为由Knudsen数和松弛因子确定的实参数.对式(8)两端关于α求和,得到一阶宏观方程,即t0时间尺度上的守恒律：

(21)

将式(8)+式(9)×ε,再关于α求和,可得二阶宏观方程：

(22)

式(22)是具有二阶截断误差O(ε2)的复Ginzburg-Landau方程,其中

λε(τ-1/2)=1,

(23)

(24)

(25)

(26)

在式(25),(26)中,D(=2)为空间维度,b(=6)为连接到相邻节点的方向数,c=|eα|为粒子运动速度,参数β可以是实数或复数.由于方程中不包含源项的对流项,故假设θα和α(α=1,2,…,b)无关[3],则可得

θα(x,t)=ξH(A),α=1,2,…,b,

(27)

θ0(x,t)=(1/ε-bξ)H(A),

(28)

其中ξ是待定参数.

3 任意阶分布函数的计算

式(16)也可写成

将式(9)+式(10)×ε+…+式(29)×εi-1,再关于α求和,得

(30)

在式(30)中,误差项Ei-1为

(31)

(35)

作用于θα的算子Δ的指数部分满足如下关系:

(36)

p+s-Nsj,s-1=i-Nij,i-1,

(37)

p+s-2-Nsj,s-3=i-2-Nij,i-3.

(38)

因此,式(34)可以写成

(41)

从而求得分布函数Fα解析解的级数形式.用上述方法可以得到任意阶精度的解析解.例如,若取到前三阶,则Fα为

将平衡态分布(25),(26)及附加分布(27),(28)代入式(42),再由式(21)可得

(44)

将式(9),(10)关于α求和,并由式(21)可得

(45)

(46)

将其代入式(43),(44)可得Fα的解析解形式为

综上可见,当构造复Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann 模型时,由于使用的附加项是小Knudsen数的二阶假设,使得任意阶的系列偏微分方程变成显式,从而可得到不同尺度上的分布函数.该方法对其他非线性偏微分方程的格子Boltzmann模型解析解的构造有参考作用.