时间尺度上Lagrange 系统的Hojman 守恒量1)

张 毅 田 雪 翟相华 宋传静

* (苏州科技大学土木工程学院,江苏苏州 215011)

† (南京理工大学理学院,南京 210094)

** (苏州科技大学数学科学学院,江苏苏州 215009)

引言

力学系统的对称性与守恒律密切相关.通过研究对称性而探索或发现复杂力学系统的守恒律,这是分析力学研究的一个重要方面[1-2].Lie 对称性[3-9]、Noether 对称性[10-20]和Mei 对称性[21-28]是3 种概念不同的对称性方法.利用对称性和守恒律,可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解,从而更好地理解其动力学行为.微分方程的Lie 理论最早由Lutzky[29]引入力学系统,所得守恒量是Noether 型的.Hojman[30]由Lie 对称性直接导出一类不属于Noether 型的守恒量,称之为Hojman 守恒量[21].Hilger[31]于1990 年提出了测度链上的分析理论,而时间尺度作为测度链的特殊情形备受关注[32-34].时间尺度分析不仅是连续分析和离散分析的统一,而且是经典微积分对任意时间尺度的拓广.Bartosiewicz和Torres[35]首先开展时间尺度上Noether 对称性的研究,此后关于时间尺度上Noether 定理及其证明的探讨至今仍方兴未艾[36-42].但是,时间尺度上Lie 对称性直到最近才有一些初步的研究且所得守恒量均为Noether 型的[43-46].鉴于此,本文将研究并给出由时间尺度上Lie 对称性直接导出的非Noether 型的新型守恒量.

1 时间尺度微积分

为方便读者,这里对时间尺度微积分做一简单介绍,详见文献[32-33].

设 T 是一个时间尺度,即实数集 R 的任意非空闭子集,如实数集 R、整数集Z、非负整数集N0或[1,3]∪N .前跳算子σ (t)=inf{s∈T:s＞t} 和后跳算子 ρ (t)=sup{s∈T:s＜t} 是关于时间尺度的两个重要的量.若 σ (t)=t,称点t∈T 右稠密,σ (t)＞t则右发散;若 ρ (t)=t,称点t∈T 左稠密,ρ (t)＜t则左发散.相邻点的位置关系在时间尺度上可用向前或向后步差函数 μ (t)=σ(t)-t或 υ (t)=t-ρ(t) 描述.

2 时间尺度上运动微分方程

时间尺度上Lagrange 方程为[28]

3 时间尺度上Lagrange 系统的两个重要关系式

本节推导时间尺度上Lagrange 系统的两个重要关系式,它们是推导时间尺度上Hojman守恒量的基础.

式(19)和式(21)是时间尺度上Lagrange 系统导数运算的两个重要关系式.

4 时间尺度上Lie 对称性

在时间尺度上引进无限小变换

依据微分方程在单参数Lie 变换群下的不变性,可定义时间尺度上Lagrange 系统的Lie 对称性,即

定义1.对于时间尺度上Lagrange 系统(5),当且仅当

则变换式(22)是Lie 对称性的.

方程(24)可写为

称方程(25)或式(26)为时间尺度上Lie 对称性确定方程.

5 时间尺度上Lie 对称性定理

由Lie 对称性可直接导出时间尺度上一类新守恒量,即有:

定理1.对于时间尺度上Lagrange 系统(5),如果变换式(22)是Lie 对称性的,并假设所有函数对其变量的混合delta 偏导数连续,且存在函数ψ=ψ(qs)使得

则该系统存在新的守恒量,形如

其中

证明:将式(28)按方程(6)对时间t求delta 导数,得

根据假设,所有函数对其变量的混合delta 偏导数连续,因此函数 ξs和 αs对变量qs和求delta 偏导数以及普通偏导数的次序可交换[33].利用关系式(19)和式(21),有

注意到 ψ =ψ(qs),因此有

将式(31)～ 式(33)代入式(30),得到

将确定方程(25)和式(27)代入上式,有

因此,式(28)是该系统的守恒量.证毕.

定理1 可称为时间尺度上Lagrange 系统的Lie 对称性定理.式(28)可称为时间尺度上Hojman守恒量,它是由Lie 对称性直接导致的.

对于任意时间尺度,守恒量(28)中函数 Ξ 一般不等于零.函数 Ξ 出现的原因在于任意时间尺度上delta 偏导数不同于普通偏导数,而当时间尺度T=R时两者是一致的.实际上,若取 T =R,则有

因此 Ξ =0,于是定理1 退化为

定理2.对于经典Lagrange 系统,如果无限小变换(22)是Lie 对称性的,且存在函数 ψ =ψ(qs) 满足条件是该系统的守恒量.

定理2 与文献[30]的结果一致.

6 算例

例.设时间尺度为 T ={2m:m∈N0},研究两自由度Lagrange 系统,其Lagrange 函数为

试研究该系统的Lie 对称性,并求出对应的Hojman守恒量.

时间尺度上Lagrange 方程(5)给出

注意到,对于时间尺度上任意函数u(t),有关系

因此,方程(40)可解出

确定方程(25)给出

与生成元式(44)和式(45)相应的变换是Lie 对称的.方程(27)给出

方程(46)有解

根据定理1,由式(44),式(45)和式(47),得到

这是时间尺度上Lie 对称性式(44)和式(45)导致的Hojman 守恒量.如果取初始条件为q1(1)=1,q2(1)=0 ,q1(2)=2,q2(2)=1 ,在时间尺度为T=上计算运动轨迹q1,q2和守恒量I1,I2的值,其结果如图1 所示.图1 中具体的数据如表1 所示.

表1 时间尺度 T =上 q 1,q2,I1,I2 的值Table 1 The values of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=

图1 时间尺度 T = 上 q 1,q2,I1,I2 的值Fig.1 Simulations of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=

如取 T =hZ+,h为常 数,则 σ (t)=t+h,μ (t)=h,Lie 对称性式(44)和式(45)成为

守恒量式(48)和式(49)成为

仍取上述初始条件,令h=1 ,在时间尺度为 T =Z+上计算运动轨迹q1,q2和守恒量I1,I2的值,其结果和数据如图2 和表2 所示.

图2 时间尺度 T =Z+ 上 q 1,q2,I1,I2 的值Fig.2 Simulations of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=Z+

表2 时间尺度 T =Z+ 上 q 1,q2,I1,I2 的值.Table 2 The values of q 1,q2,I1,I2 on the time scale T=Z+

这里只取了t∈[1,10],实际上随着时间的增加,仍有I1≡-4和I2≡4 .由此可知式(52) 和式(53)是守恒量,再次验证了定理1 的正确性.

若取 T =R ,则 σ(t)=t,μ(t)=0,Lie 对称性式(44)和式(45)成为

守恒量式(48)和式(49)成为

这是经典情形的Hojman 守恒量.

7 结论

本文将Lie 对称性方法拓展到时间尺度上Lagrange 系统,给出了时间尺度上Hojman 守恒量.主要贡献在于:一是利用时间尺度微积分的基本性质导出了时间尺度上Lagrange 系统导数运算的两个重要关系式.这是推导Hojman 守恒量的基础;二是由Lie 对称性直接推导得到了时间尺度上Lagrange系统的Hojman 类型的守恒量.该守恒量不依赖于Lagrange 函数的结构而仅取决于Lie 对称性变换的生成元.文中以时间尺度上两自由度系统为例,给出了 T =,T =hZ 以及 T =R,3 种情形下的Hojman守恒量,并通过数值模拟验证了结果的正确性.当时间尺度取为实数集时,本文结果退化为经典Lagrange 系统的Hojman 守恒量.文章的方法和结果可进一步推广和应用,如时间尺度上非完整系统,时间尺度上Birkhoff 系统等.