谈一类递推数列通项公式的求法

王小龙

[摘   要]数列因容易与函数、不等式等知识综合，已成为高考命题的好素材，是考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法的理想载体.文章主要研究利用待定系数法构造辅助数列求解递推数列通项公式的方法.

[关键词]递推数列;通项公式;等差数列;等比数列

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0022-01

递推数列通项公式的求解在高考中屡见不鮮，其丰富的内涵对培养学生思维的逻辑性具有较高的价值，同时对培养学生的逻辑推理能力也具有十分重要的意义.

构造辅助数列是求递推数列通项公式的常用方法，本文主要研究利用待定系数法求一类递推数列通项公式的问题.

[例题]已知数列[an]满足：[a1=1，an+1=3an+2]，求数列[an]的通项公式.

分析1：观察递推关系式[an+1=3an+2]，发现两边同时加1，即可得到[an+1+1=3（an+1）]，所以数列[{an+1}]是以1为首项、3为公比的等比数列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

分析2：由递推关系设[an+1+λ=3（an+λ）]，即[an+1=3an+2λ]，对照已知递推关系式可得[λ=1]，所以有[an+1+1=3（an+1）]，即数列[{an+1}]是以1为首项、3为公比的等比数列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

由上面的例题我们还可得到如下一般性结论：

结论一：对于数列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]满足：[an+1=pan+q]（[p，q]都为非零常数，且[p≠1];注：当[p=1]时，[an]为等差数列），则数列[an+qp-1]是以[a1+qp-1]为首项、[p]为公比的等比数列.

证明：[∵an+1=pan+q]，①则可设[an+1+λ=p（an+λ）]，整理即得[an+1=pan+λ（p-1）]，对照①式，则[λ（p-1）=q]，解得[λ=qp-1]，

[∴an+1+qp-1=pan+qp-1]，

[∴]数列[an+qp-1]是以[a+qp-1]为首项、[p]为公比的等比数列.

类比结论一可得到结论二：

结论二：对于数列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]满足：[an+1=pan+qn]（[p，q]都为非零常数），则

（Ⅰ）当[p=1]，[q≠1且q≠0]时，数列[an]的通项为[an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）当[p=q]时，数列[anpn]是以[a1p]为首项、[1p]为公差的等差数列.

（Ⅲ）当[p≠q]时，数列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]为首项、[p]为公比的等比数列.

证明：

（Ⅰ） 当[p=1]，[q≠1且q≠0]时，已知条件为[an+1=an+qn]，[∴an+1-an=qn]，

[∴an-an-1=qn-1an-1-an-2=qn-2?a2-a1=q]

相加得：[an-a1=q+q2+…+qn]，

[∴an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）当[p=q]时，原式即为[an+1=pan+pn]，等式两边同除[pn+1]得[an+1pn+1=anpn+1p] ，[∴]数列[anpn]是以[a1p]为首项、[1p]为公差的等差数列.

（Ⅲ）当[p≠q]时，对于[an+1=pan+qn]，  ①

设[an+1+λ?qn+1=p（an+λ?qn）]，

整理后得[an+1=pan+λ?qn（p-q）]，

对照①式得[λ?qn（p-q）=qn]，得[λ=1p-q]，

[∴][an+1+1p-q?qn+1=pan+1p-q?qn]，

[∴]数列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]为首项、[p]为公比的等比数列.

本文介绍了用待定系数法构造辅助数列求解递推数列通项公式的方法.当然此法并不是唯一的方法，还有方程组法等，在此不再赘述.本文中构造辅助数列这一思想方法尤为重要.高中学段所研究的递推数列是以两类特殊的递推数列——等差数列和等比数列为基础，将一般递推数列构造成等差数列、等比数列，进而解决问题.

（责任编辑 黄春香）