一道双曲线离心率高考题的多视角切入探究

2019-11-12 07:39栾功
中学教学参考·理科版 2019年9期
关键词:视角高考题双曲线

栾功

[摘   要]双曲线离心离的求解问题是高考数学的热点,且能深入考查考生的综合能力及数学思想方法.以一道2019年高考题为例,多视角探究双曲线离心率问题的求解策略,以指导一线教师在今后的教学中要注重基本概念和基本方法的讲解,及学生综合能力和核心素养的培养.

[关键词]高考题;双曲线;离心率;视角;探究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2019)26-0001-02

双曲线离心率的求解问题一直是高考数学的热点,离心率内涵丰富且综合性强,既可以考查双曲线的定义、标准方程、顶点坐标、渐近线等基本概念,又容易与其他章节内容,如平面几何、向量、三角进行综合应用,同时还能深入考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力以及数形结合思想.因此在历年高考中备受命题人的青睐.2019年高考新课标Ⅰ卷理科第16题非常精彩,下面笔者将从多视角解析并探究双曲线离心率问题的求解策略.

题目:(2019年新课标Ⅰ卷理科第16题)已知双曲线[C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0]的左、右焦點分别为[F1,F2],过[F1]的直线与[C]的两条渐近线分别交于[A,B]两点,若[F1A=AB],[F1B?F2B=0],则[C]的离心率为             .

试题以双曲线为背景,给出了过左焦点的一条直线与两条渐近线的位置关系,并给出了两个向量条件,有利于考生正确构图、识图、借助双曲线的几何性质厘清双曲线各个几何量之间的关系,给考生在“形”与“数”的角度提供了广阔的思考空间.下面笔者将从不同视角提供多种解法,由于各种解法都始于已知条件,先在此解析,后统称由已知得.

解析:因为[F1A=AB],[F1B?F2B=0],所以[AF1=AB],[F2B⊥F1B],

又点[O]是[F1F2]的中点,所以[OA//F2B],所以[OA⊥F1B],[OF1=OB=c]([c2=a2+b2]),

在直角三角形[OAF1]中,[OF1=c],[tan∠AOF1=ba],故[OA=a],[AF1=b].

视角1:妙添线构图,可视基本量

解法1 如图1,过点[F1]作[F1D⊥OB]于点[D],

在[Rt△ODF1]中,[OF1=c],[tan∠F1OD=ba],

所以[OD=a],[F1D=b],

由已知条件得知,在[Rt△F1DB]中,[BF1=2b],                  由[△ODF1]∽[△F1DB],得[OF1OD=F1BF1D],即[ca=2bb=2].

解法2 如图2,过点[B]作[BE⊥F1F2]于点[E],则[BEOE=ba],由已知得[OF1=OB=c],[F1B=2b],所以[BE=b],[OE=a],

[△BEF1∽△OEB],故[OBOE=BF1BE],即[ca=2bb],故[e=2].

解法3 辅助线同解法2,由已知得[OF1=c],[F1B=2b],所以[BE=b],[OA=OE=a],

在[Rt△F1AO]中,[sin∠AF1O=OAOF1=ac],在[Rt△F1EB]中,[sin∠BF1E=BEBF1=b2b=12],

所以[ac=12],故[e=2].

解法4 如图3,过点[O]作[OH⊥BF2]于点[H],

由题意知[BH=a],[OB=c],

由上解法知[∠BOF2=60°],从而[∠BOH=30°],

所以[BOBH=2],即[e=2].

点评:从双曲线的渐近线概念入手,充分挖掘其内涵和外延,抓住渐近线的斜率和基本量[a,b,c]之间的关系,由数找形,添加不同辅助线构建直角三角形,使基本量[a,b,c]可视,从而用离心率的定义求解,精炼优美.

视角2:深挖角关系,以“形”速显“数”

解法5 如图4,由已知得[OF1=OB],点[A]为[F1B]的中点,所以[∠F1OA=∠BOA],

又因为直线[OA],[OB]是双曲线的两条渐近线,所以[∠F1OA=∠F2OB],从而[∠F1OA=∠BOA=∠F2OB=60°].

所以[ba=3],得[e=2].

解法6 由题意知[OA=a],[AO=12BF2],[∠F1OA=∠AOB],因为[OA//F2B],所以[∠AOB=∠F2BO],故[∠F1OA=∠F2BO],

又由渐近线的性质知[∠F1OA=∠BOF2],

所以[∠F2BO=∠BOF2],所以[BF2=OF2=c],

由[AO=12BF2]得[a=12c],所以[e=2].

点评:基于平面几何知识,由形找形,深挖角度关系,使其[a,c]关系一目了然,过程简洁自然.

视角3:关系坐标化,构建齐次式

解法7 由题意知[F1B⊥OA],[F1A=AB],记[a2+b2=c2],所以直线[OA]的方程为[y=-bax],直线[F1B]的方程为[y=abx+c],

联立[y=-bax         ,y=abx+c         ,]得[A- a2c         ,       bac],从而[Bb2-a2c         ,        2bac],

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