一道双曲线离心率高考题的多视角切入探究

栾功

[摘   要]双曲线离心离的求解问题是高考数学的热点，且能深入考查考生的综合能力及数学思想方法.以一道2019年高考题为例，多视角探究双曲线离心率问题的求解策略，以指导一线教师在今后的教学中要注重基本概念和基本方法的讲解，及学生综合能力和核心素养的培养.

[关键词]高考题;双曲线;离心率;视角;探究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0001-02

双曲线离心率的求解问题一直是高考数学的热点，离心率内涵丰富且综合性强，既可以考查双曲线的定义、标准方程、顶点坐标、渐近线等基本概念，又容易与其他章节内容，如平面几何、向量、三角进行综合应用，同时还能深入考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力以及数形结合思想.因此在历年高考中备受命题人的青睐.2019年高考新课标Ⅰ卷理科第16题非常精彩，下面笔者将从多视角解析并探究双曲线离心率问题的求解策略.

题目：（2019年新课标Ⅰ卷理科第16题）已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的左、右焦點分别为[F1，F2]，过[F1]的直线与[C]的两条渐近线分别交于[A，B]两点，若[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，则[C]的离心率为             .

试题以双曲线为背景，给出了过左焦点的一条直线与两条渐近线的位置关系，并给出了两个向量条件，有利于考生正确构图、识图、借助双曲线的几何性质厘清双曲线各个几何量之间的关系，给考生在“形”与“数”的角度提供了广阔的思考空间.下面笔者将从不同视角提供多种解法，由于各种解法都始于已知条件，先在此解析，后统称由已知得.

解析：因为[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，所以[AF1=AB]，[F2B⊥F1B]，

又点[O]是[F1F2]的中点，所以[OA//F2B]，所以[OA⊥F1B]，[OF1=OB=c]（[c2=a2+b2]），

在直角三角形[OAF1]中，[OF1=c]，[tan∠AOF1=ba]，故[OA=a]，[AF1=b].

视角1：妙添线构图，可视基本量

解法1 如图1，过点[F1]作[F1D⊥OB]于点[D]，

在[Rt△ODF1]中，[OF1=c]，[tan∠F1OD=ba]，

所以[OD=a]，[F1D=b]，

由已知条件得知，在[Rt△F1DB]中，[BF1=2b]，                  由[△ODF1]∽[△F1DB]，得[OF1OD=F1BF1D]，即[ca=2bb=2].

解法2 如图2，过点[B]作[BE⊥F1F2]于点[E]，则[BEOE=ba]，由已知得[OF1=OB=c]，[F1B=2b]，所以[BE=b]，[OE=a]，

[△BEF1∽△OEB]，故[OBOE=BF1BE]，即[ca=2bb]，故[e=2].

解法3 辅助线同解法2，由已知得[OF1=c]，[F1B=2b]，所以[BE=b]，[OA=OE=a]，

在[Rt△F1AO]中，[sin∠AF1O=OAOF1=ac]，在[Rt△F1EB]中，[sin∠BF1E=BEBF1=b2b=12]，

所以[ac=12]，故[e=2].

解法4 如图3，过点[O]作[OH⊥BF2]于点[H]，

由题意知[BH=a]，[OB=c]，

由上解法知[∠BOF2=60°]，从而[∠BOH=30°]，

所以[BOBH=2]，即[e=2].

点评：从双曲线的渐近线概念入手，充分挖掘其内涵和外延，抓住渐近线的斜率和基本量[a，b，c]之间的关系，由数找形，添加不同辅助线构建直角三角形，使基本量[a，b，c]可视，从而用离心率的定义求解，精炼优美.

视角2：深挖角关系，以“形”速显“数”

解法5 如图4，由已知得[OF1=OB]，点[A]为[F1B]的中点，所以[∠F1OA=∠BOA]，

又因为直线[OA]，[OB]是双曲线的两条渐近线，所以[∠F1OA=∠F2OB]，从而[∠F1OA=∠BOA=∠F2OB=60°].

所以[ba=3]，得[e=2].

解法6 由题意知[OA=a]，[AO=12BF2]，[∠F1OA=∠AOB]，因为[OA//F2B]，所以[∠AOB=∠F2BO]，故[∠F1OA=∠F2BO]，

又由渐近线的性质知[∠F1OA=∠BOF2]，

所以[∠F2BO=∠BOF2]，所以[BF2=OF2=c]，

由[AO=12BF2]得[a=12c]，所以[e=2].

点评：基于平面几何知识，由形找形，深挖角度关系，使其[a，c]关系一目了然，过程简洁自然.

视角3：关系坐标化，构建齐次式

解法7 由题意知[F1B⊥OA]，[F1A=AB]，记[a2+b2=c2]，所以直线[OA]的方程为[y=-bax]，直线[F1B]的方程为[y=abx+c]，

联立[y=-bax         ，y=abx+c         ，]得[A- a2c         ，       bac]，从而[Bb2-a2c         ，        2bac]，