圆的巧用

郭健

[摘   要]圆有很多几何性质.巧妙应用圆的性质能快速解决很多问题.引入圆的常见方式有：三角形（内切圆、外接圆）、定长（圆的定义）、线段之比（阿氏圆）、定角（圆弧）等.引入圆后转化直线与圆的位置、点与圆的位置、圆与圆的位置关系、圆的参数方程等处理问题.

[关键词]圆;三角形;定长;线段之比;定角

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0015-02

圆是最美的图形.以圆为背景的题目，常常用到圆的相关性质;不是以圆为背景的题目，也能引入圆，巧用圆的性质.那么，哪些问题能引入圆，应用圆的性质巧解问题呢？如何引入圆，体现新课标中倡导的“创新意识”？

一、三角形引圆巧求角最大

任意一个三角形都有外接圆和内切圆.当题目中出现三角形时，可以考虑引入圆，应用圆的性质求解.其中，著名的足球射门问题，恰能体现圆的巧用.

[题1]（足球射门问题）在绿茵场上，足球队员甲带球沿边线直线进攻.已知球门框A、B到足球场地边线的距离分别为[a，b（b>a>0）]，问：球员甲在边线的什么位置射门，进球的可能性最大（即对球门[AB]的张角[∠ACB]最大）？

分析：这道题常釆用两角差的正切公式结合基本不等式来求解（跨模块的综合方法）.实际上，我们换个角度，完全可以从直线与圆的位置关系切入，选择点到直线的距离和两点间的距离公式求解.

解法一：以AB所在直线为y轴，以AB与足球场地边线的交点为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，a），B（0，b），设C（x，0）.△ABC的外接圆M与射线x轴正半轴有公共点C.当圆M与射线x轴正半轴相切时，[∠ACB]最大，此时C为切点，点M在AB的垂直平分线[y=a+b2]上，所以圆M的半径[r=a+b2=][x2+a-b22]，解得[x=ab].故队员甲在距底线[ab]处射门，进球的可能性最大.

解法二：依题意知，过A、B的圆M与x轴正半轴有公共点C.圆心M在AB的垂直平分线[y=a+b2]上，设[Mm，a+b2]，则[a+b2][≤x2+a-b22]，即[m≥ab].

由正弦定理得[sin∠ACB=b-a2m2+a+b22≤b-ab+a]，当且仅当[m=ab]时取等号.∵∠ACB为锐角，∴当[m=ab]时，∠ACB取最大值，此时CM⊥x轴，C为切点，∴C（[ab]，0）.故队员甲在距底线[ab]处射门，进球的可能性最大.

评注：上述两种解法都是应用圆来求解，比用两角差的正切公式计算更简洁，体现了圆的巧用.

二、圆的定义引圆巧求线段长最小

到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.当题目中出现“距离相等”这一条件时，可考虑应用圆的定义引入圆，再利用圆的性质求解.

[题2][2019·新课标模拟（理），16]如图1所示，面积为[34]的等边△[ABC]中，点[M，N]分别在线段[AB，AC]上，现将△AMN沿线段[MN]进行翻折，得到如图2所示的图形，翻折后的点[A]在线段[BC]上，则线段[AM]的最小值为                 .

分析：这是一道以三角形为背景，以折叠为手段，考查解三角形的好题.集动静于一题，集数形于一题，集抽象与具体于一题，是一道创新题.由对称可以得到两条线段相等，从而引入圆，再应用圆的性质求解.

解析：∵将△AMN沿线段[MN]进行翻折，翻折后的点[A]在线段[BC]上，∴MA=MA′，A在线段BC上，∴以M为圆心，以MA′为半径的圆与线段BC有公共点.欲使AM最小，则该圆必与BC相切.此时，∠MAB=90°.

设AM=y，则BM=1[-y]，[y∈[0，1]]，由[∠B]=60°得[y=（1-y）sin60°=32（1-y）]，解得y=[23-3]，∴[AM]有最小值[23-3].

评注：题2的求解是运用圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.题1是运用任意三角形必有唯一的外接圆.相同之处，都是转化为直线与圆的位置关系——直线与圆有公共点.

三、距离之比为常数引入阿氏圆求面积最大

满足到两个定点的距离之比为常数（常数为1）的点的轨迹是圆，即动点C满足AC =[λ]BC（[λ>0]且[λ≠1]）时的轨迹是阿波罗尼斯圆.当题设条件中有距离之比为常数时，可以引入圆，应用圆的性质求解.

[题3]（2008·江苏）满足条件AB = 2，AC = BC的△ABC的面积的最大值是____.

分析：满足AC = BC的点C的轨迹是圆，从而将△ABC的面积的最大值问题转化为C到直线AB的距离的最大值问题.

解析：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A （[-1]，0），B （1，0），设C [（x，y）]，则[（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]]，即[（x-3）2+y2=8]，∴C到AB的距离的最大值为[22]，∴△ABC的面积的最大值[12×AB×yCmax][=22].

評注：应用圆，很容易求得C到AB的距离的最大值，既有形的直观，又有数的简算.本题的求解方法有很多，但以圆的解法为最简洁.

四、定线段的张角为定值引入圆求范围

圆的同弧或同弦所对的圆周角处处相等.因此，当题设中出现定角时，可以考虑引入圆，应用圆的性质求解.

[题4]在[△ABC]中，[∠C=45°]，[O]是三角形外心，若[OC=mOA+nOB（m，n∈R）]，则[m+n]的取值范围为________.

分析：由[∠C=45°]可知点C的轨迹是圆弧.可通过圆的参数方程，巧求[m+n]的取值范围.

解析：设AB=2，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，原点记为[O′]，建立直角坐标系，则A（[-1]，0），B （1，0），设C [（x，y）]，∵[∠C=45°]，∴点C的轨迹是以AB为弦，AB所对的圆周角为45[°]的圆弧（优弧）.可求得圆心[O]（0，1），半径为[2]，∴点C的轨迹方程为：[x2+（y-1）2=2           ，      y≥0 ] .

设[C（2cosθ，1+2sinθ） ，-π4≤θ≤5π4]，由[OC=mOA+nOB]得[m+n=-2sinθ][∈][[-2，1）].

评注：圆的引入，为坐标计算带来方便，再结合三角函数的有界性，轻松解题.

通过以上几道题目的求解，我们能体会到圆在解题中的巧用.圆的表现形式是多样的，要根据题目的特点灵活选择，而最关键的是想到圆.那么，哪些问题涉及圆呢？常见的有：①三角形——外接圆及内切圆;②圆的定义——一个点到若干个点的距离相等;③一个点到两个定点的距离之比为非1的正常数——阿氏圆;④一条线段所对角为定值——圆周角，从而是圆弧或圆（包括斜率乘积为-1，向量的数量为某常数等）.通过对知识的正确解读，想到圆，就能应用圆的性质巧解题目了.

（责任编辑 黄春香）