圆的巧用

2019-11-12 07:39郭健
中学教学参考·理科版 2019年9期
关键词:三角形

郭健

[摘   要]圆有很多几何性质.巧妙应用圆的性质能快速解决很多问题.引入圆的常见方式有:三角形(内切圆、外接圆)、定长(圆的定义)、线段之比(阿氏圆)、定角(圆弧)等.引入圆后转化直线与圆的位置、点与圆的位置、圆与圆的位置关系、圆的参数方程等处理问题.

[关键词]圆;三角形;定长;线段之比;定角

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2019)26-0015-02

圆是最美的图形.以圆为背景的题目,常常用到圆的相关性质;不是以圆为背景的题目,也能引入圆,巧用圆的性质.那么,哪些问题能引入圆,应用圆的性质巧解问题呢?如何引入圆,体现新课标中倡导的“创新意识”?

一、三角形引圆巧求角最大

任意一个三角形都有外接圆和内切圆.当题目中出现三角形时,可以考虑引入圆,应用圆的性质求解.其中,著名的足球射门问题,恰能体现圆的巧用.

[题1](足球射门问题)在绿茵场上,足球队员甲带球沿边线直线进攻.已知球门框A、B到足球场地边线的距离分别为[a,b(b>a>0)],问:球员甲在边线的什么位置射门,进球的可能性最大(即对球门[AB]的张角[∠ACB]最大)?

分析:这道题常釆用两角差的正切公式结合基本不等式来求解(跨模块的综合方法).实际上,我们换个角度,完全可以从直线与圆的位置关系切入,选择点到直线的距离和两点间的距离公式求解.

解法一:以AB所在直线为y轴,以AB与足球场地边线的交点为原点,建立平面直角坐标系,则A(0,a),B(0,b),设C(x,0).△ABC的外接圆M与射线x轴正半轴有公共点C.当圆M与射线x轴正半轴相切时,[∠ACB]最大,此时C为切点,点M在AB的垂直平分线[y=a+b2]上,所以圆M的半径[r=a+b2=][x2+a-b22],解得[x=ab].故队员甲在距底线[ab]处射门,进球的可能性最大.

解法二:依题意知,过A、B的圆M与x轴正半轴有公共点C.圆心M在AB的垂直平分线[y=a+b2]上,设[Mm,a+b2],则[a+b2][≤x2+a-b22],即[m≥ab].

由正弦定理得[sin∠ACB=b-a2m2+a+b22≤b-ab+a],当且仅当[m=ab]时取等号.∵∠ACB为锐角,∴当[m=ab]时,∠ACB取最大值,此时CM⊥x轴,C为切点,∴C([ab],0).故队员甲在距底线[ab]处射门,进球的可能性最大.

评注:上述两种解法都是应用圆来求解,比用两角差的正切公式计算更简洁,体现了圆的巧用.

二、圆的定义引圆巧求线段长最小

到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.当题目中出现“距离相等”这一条件时,可考虑应用圆的定义引入圆,再利用圆的性质求解.

[题2][2019·新课标模拟(理),16]如图1所示,面积为[34]的等边△[ABC]中,点[M,N]分别在线段[AB,AC]上,现将△AMN沿线段[MN]进行翻折,得到如图2所示的图形,翻折后的点[A]在线段[BC]上,则线段[AM]的最小值为                 .

分析:这是一道以三角形为背景,以折叠为手段,考查解三角形的好题.集动静于一题,集数形于一题,集抽象与具体于一题,是一道创新题.由对称可以得到两条线段相等,从而引入圆,再应用圆的性质求解.

解析:∵将△AMN沿线段[MN]进行翻折,翻折后的点[A]在线段[BC]上,∴MA=MA′,A在线段BC上,∴以M为圆心,以MA′为半径的圆与线段BC有公共点.欲使AM最小,则该圆必与BC相切.此时,∠MAB=90°.

设AM=y,则BM=1[-y],[y∈[0,1]],由[∠B]=60°得[y=(1-y)sin60°=32(1-y)],解得y=[23-3],∴[AM]有最小值[23-3].

评注:题2的求解是运用圆的定义:到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.题1是运用任意三角形必有唯一的外接圆.相同之处,都是转化为直线与圆的位置关系——直线与圆有公共点.

三、距离之比为常数引入阿氏圆求面积最大

满足到两个定点的距离之比为常数(常数为1)的点的轨迹是圆,即动点C满足AC =[λ]BC([λ>0]且[λ≠1])时的轨迹是阿波罗尼斯圆.当题设条件中有距离之比为常数时,可以引入圆,应用圆的性质求解.

[题3](2008·江苏)满足条件AB = 2,AC = BC的△ABC的面积的最大值是____.

分析:满足AC = BC的点C的轨迹是圆,从而将△ABC的面积的最大值问题转化为C到直线AB的距离的最大值问题.

解析:以AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A ([-1],0),B (1,0),设C [(x,y)],则[(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]],即[(x-3)2+y2=8],∴C到AB的距离的最大值为[22],∴△ABC的面积的最大值[12×AB×yCmax][=22].

評注:应用圆,很容易求得C到AB的距离的最大值,既有形的直观,又有数的简算.本题的求解方法有很多,但以圆的解法为最简洁.

四、定线段的张角为定值引入圆求范围

圆的同弧或同弦所对的圆周角处处相等.因此,当题设中出现定角时,可以考虑引入圆,应用圆的性质求解.

[题4]在[△ABC]中,[∠C=45°],[O]是三角形外心,若[OC=mOA+nOB(m,n∈R)],则[m+n]的取值范围为________.

分析:由[∠C=45°]可知点C的轨迹是圆弧.可通过圆的参数方程,巧求[m+n]的取值范围.

解析:设AB=2,以AB所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,原点记为[O′],建立直角坐标系,则A([-1],0),B (1,0),设C [(x,y)],∵[∠C=45°],∴点C的轨迹是以AB为弦,AB所对的圆周角为45[°]的圆弧(优弧).可求得圆心[O](0,1),半径为[2],∴点C的轨迹方程为:[x2+(y-1)2=2           ,      y≥0 ] .

设[C(2cosθ,1+2sinθ) ,-π4≤θ≤5π4],由[OC=mOA+nOB]得[m+n=-2sinθ][∈][[-2,1)].

评注:圆的引入,为坐标计算带来方便,再结合三角函数的有界性,轻松解题.

通过以上几道题目的求解,我们能体会到圆在解题中的巧用.圆的表现形式是多样的,要根据题目的特点灵活选择,而最关键的是想到圆.那么,哪些问题涉及圆呢?常见的有:①三角形——外接圆及内切圆;②圆的定义——一个点到若干个点的距离相等;③一个点到两个定点的距离之比为非1的正常数——阿氏圆;④一条线段所对角为定值——圆周角,从而是圆弧或圆(包括斜率乘积为-1,向量的数量为某常数等).通过对知识的正确解读,想到圆,就能应用圆的性质巧解题目了.

(责任编辑 黄春香)

猜你喜欢
三角形
三角形的认识
三角形画不停
《全等三角形》拓展精练
剪拼三角形
人体内的三角形
数三角形
数三角形
三角形真有用
三角形,不扭腰
三角形表演秀