■向正银
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。函数的零点个数问题是高考命题的一个热点,解答这类问题需要与函数的图像与性质相结合求解。
例1已知分段函数f(x)=则函数f(x)的零点是( )。
解:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=2-log2x=0,解得x=4。
故函数f(x)的零点是0和4。应选D。
对于函数y=f(x),令f(x)=0,若能求出解,则有几个解就有几个零点。本题是求分段函数的零点,可分别解指数方程与对数方程得出结果。
例2设f(x)=x3+b x+c是[-1,1]上的增函数,且,则方程f(x)=0在[-1,1]内( )。
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
解:由f(x)在[-1,1]上是增函数,且,可知函数f(x)在上有唯一的零点,所以方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实数根。应选C。
零点存在性定理成立的两个条件:一是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线;二是f(a)·f(b)<0。这两个条件缺一不可,如果其中一个条件不成立,那么就不能使用该定理。
例3函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )。
A.1 B.2
C.3 D.4
解:令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得
分别设函数y=g(x)=|log0.5x|和函数在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图像(简图),如图1所示。
图1
由图1可知,两个函数图像一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点。应选B。
解答本题时,需要把求函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数转化为函数g(x)=|log0.5x|与的图像的交点个数来求解,这也是转化与化归思想的具体应用。