值得关注的三类函数零点问题

■

函数的零点问题，归根到底是研究函数的图像与性质问题。一方面要判断函数的单调性，再借助零点存在性定理来解决;另一方面将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。那么这类问题一般会出现哪些情形呢?本文分类举例说明。

一、判断函数零点所在的区间的问题

判断函数零点所在的区间，一般只需利用零点存在性定理。

例1函数f（x）=ln（x-1）+x的零点所在的大致区间是（ ）。

解：先判断f（x）的单调性，再利用零点存在性定理验证即可。易知f（x）是增函数，当x→1时，ln（x-1）→-∞，从而f（x）→由此可得存在使得f（x0）=0。应选 A。

评析：当零点问题无法计算时，要善于估计函数值的取向，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，如本题中的f（1.1）=

二、函数零点的个数问题

求函数零点的个数问题，一般有两种方法：一是将函数的零点问题，转化为方程的根的问题，通过直接解方程来得到函数的零点个数;另一种方法是将一个函数分解成两个基本函数，利用这两个函数的图像，直观看出图像交点的个数，即为函数的零点个数。

例2f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2019x+log2019x，则函数f（x）的零点个数是

解：作出函数y=2019x和函数y=-log2019x（x＞0）的图像，如图1所示。

图1

由图像可知，函数f（x）=2019x+log2019x在x∈（0，+∞）上存在一个零点。因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）在x∈（-∞，0）上也有一个零点。又f（0）=0，所以函数f（x）的零点个数是3。

评析：解答这类问题的关键是善于构造两个相关的函数，画出它们的图像，确定图像的交点。

三、复合函数的零点问题

复合函数的零点问题，就是关于x的方程g[ f （x）]=0的根的个数问题。解答这类问题分为两个步骤：一是解关于f（x）的方程，观察有几个f（x）的值使得等式成立;二是结合f（x）的值求出每个f（x）被几个x对应，将x的个数汇总后即为g[f（x）]=0的根的个数。

例3关于x的方程 （x2-1）2-的不相同实根的个数为

解：将视为一个整体，可令t=|x2-1|，则原方程可化为t2-3t+2=0，由此解得t=1或t=2。作出函数t=的图像（图略），然后统计其与t=1，t=2图像的交点个数，易知共有5个交点。故原方程的实根个数为5。

评析：复合函数的零点问题可转化为基本函数问题，通过作出基本函数的图像，利用函数的图像来解决问题。