浅析如何培养高中生数形结合思想的研究

仇彬

【摘 要】数形结合思想可将问题化抽象为具象，化复杂为简单，成为解决高中数学问题的一种重要方法和手段。数形结合思想不仅能够促进学生对数学知识的深入理解和研究，锻炼增强学生的数学思维能力，还可以促进高中数学教学的稳步向前推进。

【关键词】高中数学;数形结合;高中生

数形结合思想始终贯穿于整个数学发展史。在面对实际问题时，往往将其转化为数学问题，将事物之间的关系转化为数之间的关系，这样能够有效降低解决实际问题的难度。高中数学教师应将数形结合与教学相结合，教授学生数形结合思想，在潜移默化中培养学生数学思维。

一、数形结合与函数问题的结合

函数作为高中数学的重要内容之一，以研究函数单调性、最值、零点、定义域、值域等性质为主。函数问题往往来源于生活，主要用来解决生活中的实际问题，因此其地位不言而喻，然而这部分内容对于高中生来说最为抽象，学习难度最大。因此，教师在教学过程中，需要用数形结合的方法来指导学生应用解决问题。

函数最值问题在高中数学问题中出现频率高，通常作为考试重点内容，面对求最大值问题时通常有以下方法：配方法、局部换元法、三角代换法、均值不等式、三角函数有界法、单调性法、求导法等都属于求最值问题的常用方法，应做到具体问题具体分析。有以下题目：求函数y=（4*sin（x）-1）/（3*cos（x）-6）的最值。面对这样的问题，通常思路是判断该函数的单调性，有两种传统方法：一种是根据定义，通过判断（f（x1）-f（x2））/（x1-x2）的符号来判断其单调性;另一种方法为直接求其导函数，通过导函数零点来求最值。经尝试发现，采用上述两种方法，都会使计算量变大，最终可能导致计算错误。但此题还有更为简单的方法：数形结合法。即将函数式变形为y=4*（sin（x）-1/4）/3*（cos（x）-2），会发现，可以将成作为两点a（2，1/4），b（cos（x），sin（x））连线的斜率，b点在以原点为圆心的单位圆上，问题转换为求过点a与单位圆切线的斜率问题，然后令y-1/4=k*（x-2），根据点到直线的距离公式求得k为3/4或-5/12，则最值为1，-5/9。在做题时，教师可做出其大致图形，将示例图与题目结合为学生进行讲解，即数形结合，从而使学生能够了解数形结合方法，在面临类似问题时，能够举一反三。当训练强度足够大，教师应尝试着让学生不画图也能解决问题，即仅仅在头脑中构思出一幅题目所需图像，真正做到熟练。除最值问题外，数形结合方法在不等式、方程中也有很好的应用，对于提高解题效率和准确率具有重要作用。

二、数形结合与解析几何问题的结合

面对函数问题，往往将其与具体图像相结合，而当面对解析几何问题时，往往可以将其与“数”相结合，通常的方法有，坐标系法（平面直角坐标系，空间直角坐标系），向量法（平面向量，空间向量）。将抽象复杂的图像转化为简单的数字或符号，使其变得更加一目了然，容易理解。对于部分高中生来说，其空间想象能力、立体思维能力的水平有限，对复杂的图形理解困难。因此，教师需要采用数形结合的方式来帮助学生解决问题，加深学生对此类题目的理解，以便于快速掌握。例如：在求解关于立体几何的问题时，若只是凭想象力在头脑中构造各种图形，以发现其中的规律，但这种方式仅仅对于部分能力较强的学生适用，大多数学生用起来是相当困难的。一般的方法是将其与空间向量相结合，将边、角、面之间的关系用向量表示，或直接构造空间直角坐标系，列出方程组、不等式组直接求解。甚至还可以将图形、向量、坐标系三者结合起来，会发现问题变得是如此简单清晰。以2017年课表3卷19（2）为例：以O为原点，OA为X轴正方向，OB为Y轴正方向，OD为Z轴正方向，设AC=a，建立直角坐標系，然后写出各点坐标，再构造空间向量，设出平面AED、AEC的法向量，根据边、角、面之间的关系列出方程组便可求解得出二面角D-AE-C的余弦为sqrt（7）/7。

三、数形结合与概率问题的结合

概率作为高考必考题目之一，主要考察学生知识应用能力、语言理解能力，学生如何将实际问题转化为数学问题。其中“会面问题”经常作为重点考察内容。有以下题目：两人事先谈好在19：00到20：00期间会面，而且先到的必须等待迟到者30分钟才可以离开，假设二者出发的时间是各自独立的，在19：00到20：00时间会面的可能性是一样的，那么求两人在约定时间相见的概率。应对此题有一最佳方法：数形结合法。设两人为A、B，A到达的时间为X，B到达的时间为Y，则可以列出不等式组：19<=X<=20，19<=Y<=20，|X-Y|<=40，然后画出其相应的函数图像，则可以发现此题本质是几何概率问题，只需求出图像中围成的图形相应面积的比值，即可求出两人在规定时间能够相见的概率。观察题目发现，此题的求解方法中又运用到了数形结合的方法。因此，数形结合法往往可以应用于某些概率问题求解，尤其是几何概率问题。教师在讲本节内容时，需重点注意该方法，对于高中学生来说，既能掌握该题的解题技巧与方法，又可以加深对数形结合方法的理解，从而有助于实现高中生数学思维的培养。

四、结语

由此可见，数学结合思想贯穿了高中数学的始终，作为教学者，需要重点把握这一点，将其与数学教学相结合，让学生在潜移默化中理解数形结合，以便进一步理解数学基本概念，辅助学生解决数学问题，从而激发起高中生对数学的兴趣。数形结合不仅仅是一种方法，更是一种思想，对于学生解决实际问题，培养学生数学思维，提高综合素质具有重要作用。

参考文献：

[1]郝升.高中数学思想方法的学习[J].神州（中旬刊），2016（05）.

[2]路柠宁.数形结合方法在高中数学解题教学设计的案例分析[D].天津：天津师范大学，2017.