浅谈动点最值问题

广东省佛山市顺德区沙滘初级中学(528315)郑春明

一、前言

在近几年的中考数学题中,一类动点最值的问题受到中考命题者的青睐,它是改编自课本中的练习题.这类问题能考查学生的综合分析和解决问题的能力,所以成为中考的热点问题,下面我将从2015年广东省的一道中考题谈起.

例1(2015年广东省)如图1,反比例函数的图象与直线y= 3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.

图1

(1)求k的值;

(2)求点C的坐标;

(3)在y轴上确定一点M,使点M到C,D两点的距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.

这道题的第(3)小题得分率不高,主要是因为学生找不到符合题意的点M,自然就求不出它的坐标.事实上,解决这道题所用的数学模型就隐藏在北师大版教科书中.北师大版《数学》七年级下册第123页问题解决的第5 题：如图2,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B 提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B从到它的距离之和最短?[2]

图2

图3

分析上述问题,利用数学建模思想,可转化为：已知定点A、B和直线l,要求在直线l上求作点P,使PA+PB最小.

这道题的解决办法是：如图3,利用轴对称性找到点A′,连接A′B,与直线l相交于点P,此时,PA+PB最小.通过这道题目的解答,发现解决问题的关键是利用轴对称将问题转化为“两点之间,线段最短”,亦可用三角形两边之和大于第三边来证明.在问题的解题过程中,我们可以用一句通俗易懂的话语“加法最小找异侧”来总结,如果两个点在异侧直接连接出交点,如果是同侧的点就需要做对称点变成异侧来解决此题.通过多年教学发现,此口诀明白易晓,便于学生理解和记忆.下面,我将结合常考试题中的相关问题,进行分类解决.

二、常考题型

(一)两定一动型

“两定一动型”是指在已知两个固定点和直线上的一个动点的条件下求最值的题目,常考题型有三种,下面以2015年广东省中考题第23 题的改编题为例来呈现这三种不同的题型.

例2(2015年广东省第23 题改编)如图4,反比例函数的图象与直线y= 3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D.

(1)在轴上是否存在点E,使CE+DE的值最小,若存在,请求出点E的坐标

(2)在轴上是否存在点F,使DF -CF的值最大,若存在,请求出点F的坐标

(3)在轴上是否存在点G,使|CG-DG|的值最小,若存在,请求出点G的坐标,若不存在,请说明理由

图4

图5

分析(1)这一问可以沿用前言的解题思路,以口诀“加法最小找异侧”做对称点来解决此题.

(2)这一问,利用数学建模思想可转化为：如图5,已知点A和点B′,问在直线l上是否存在一个动点M,使得|MA-MB′|的值最大.解决的办法连接点A和点B′并延长与已知直线l相交于点M,此时|MA - MB′|的值最大.这样做的理由如下：作点B′关于直线l的对称点B,此时AM -BM=AM -B′M=AB′.接下来,在直线l上任取一个另一点M′,连接M′A、M′B、M′B′.则AM′-BM′=AM′-B′M′ ＜AB′(三角形两边之差小于第三边).所以M′A-M′B ＜AM-BM,即此时AM-BM最大.

在实际解题过程中,我们可将这种模型的应用以口诀“减法最大找同侧”来总结,如果两个点在同侧直接连接出交点,如果两个点在异侧则需要做对称点变成同侧来解决此题.

(3)这一问,利用绝对值最小是0 可得到CG=DG,接着设G的纵坐标是y,再利用两点间距离公式可以列方程求出G点的坐标.

(二)一定两动型

“一定两动型”是指在已知一个固定点和直线上的两个动点的情况下求最值的题目.

例3(2009 陕西)如图6,在锐角三角形ABC中,AB=∠BAC= 45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为_____.

图6

图7

分析此问题的对称轴是角平分线所在的直线,可以利用它对线段进行转换.如图7所示,作点N关于对称轴的对称点N′,连接MN′,则MN=MN′.所以,求BM+MN的最小值相当于求BM+MN′的最小值,当B、M、N′三点共线,且BN′⊥AC时,BM+MN′最小.由∠BAC=45°,AB=利用三角函数值可求得BN′=4.所以BM+MN的最小值为4.

这个问题的突破口是AD是∠BAC的平分线,利用对称变换将MN转化为MN′,然后“化曲为直”,接着利用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”,得到当BN′⊥AC时,BM+MN有最小值.

例4如图8,∠AOB= 45°,P是∠AOB内一点,PO= 10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.

图8

图9

解如图9,分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN,MN交OA、OB于点Q、R,连接PR、PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得,OM=ON=OP= 10,∠MOA= ∠POA,∠NOB=∠POB,所以∠MON= 2∠AOB= 2×45°= 90°,在Rt△MON中,即△PQR周长的最小值等于

和“两定一动型”对比,虽然多了一个动点,但是由于求的是加法的最小值,所以解法和“一定两动型”的第一问一样找异侧、进行对称变换的这个解题方法始终不变.

(三)两定两动型

“两定两动型”,就是已知两个固定点和直线上的两个动点的条件下求最值的题目.

例5 如图10,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问：桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短? (注：桥必须与街道垂直)[3]

图10

图11

分析(1)两点之间线段最短,(2)“加法最小找异侧”,可利用以上原理来求解作图.

解如图11,将桥的长度设为CD,则这个问题中所求的路线就是AC、CD、DB三条线段之和.怎样转化为两点间的一条线段呢? 根据题意得,线段CD是定值,所以只需要AC+DB最短.但是由于它们是分散的两条线段,所以需要先将其中一条平移,如图平移DB到CB′,此时,点A和点B′在直线l的异侧,根据“加法最小找异侧”的口诀,此时直接连接AB′交l于P,就可以得知桥的位置.

例6(2010•江干区模拟)如图12,已知A,B两点在直线l的同侧,试用直尺(没有刻度)和圆规,在l上找两点C和D(CD的长度为定值a),使得AC+CD+DB最短.(不要求写画法)

图12

图13

分析如图13,因为点A和点B在直线l的同侧,根据“加法最小找异侧”的口诀,需要先作出点A关于I的对称点A′,点B向左平移到B′(平移的长度为定值a),再连接A′B′,与l交于C,再作BD//A′B′,与l交于D,即可确定点D、C.

点评解决这道题的方法和例5 的类似,难点主要是确定点C、点D的位置.但这道题比例5 还难,需要作出A点关于直线l的对称点A′,将A′和B′放在直线l的异侧.

三、总结反思

通过上面三种题型,六道例题的分析和解答可以发现：动点最值的问题,无论问题的条件怎么变化,其本质都离不开轴对称性质和两个定理——“两点之间,线段最短”、“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,解决问题时,关键是找到对称轴,根据题意看看需不需要作出对称点进行转化,从而达到“化曲为直”的目的.

从一道得分率较低的中考题中引申出这么多不同类型的常考动点最值问题,这些题目都能在教科书中找到原型,对于平时的教学,从中我们也能得到一点启发：1、平时例题教学、作业讲解、试卷讲评等要注重变式教学(变条件、变结论、变图形、变式子、变表达方式等).2、在讲题时,除了总结外,可追问学生来激发学生思考.3、在例题讲解完毕后,可用通俗易懂的口诀对方法进行适当总结,例如对于两定一动的动点最值问题可让学生熟记“加法最小找异侧”、“减法最大找同侧”.