运用知识结构教学 优化高三复习效果*

北京市通州区潞河中学(101149)赵月灵

提要 数学的知识结构是指由知识之间内在的联系所联结而成的整体.知识结构教学是指教师启发学生将获取离散的、表象的知识进行整理加工,在头脑“内化”的基础上形成多要素、多层次、多系列的网络状的纵横联系的动态知识结构.当前,高考内容越来越重视对学生数学能力的考察,对学生数学素养的考察.高三复习任务重,时间紧,堆积的知识来不及整理,是杂乱放一起的,因此,知识无法形成能力.知识结构教学提供了从宏观上对学过知识进行梳理与重组的机会,促进学生将知识内化,形成能力,提高素养.本文结合实例,从五个方面阐明如何运用知识结构教学,优化高三复习效果.

美国心理学家、教育家布鲁纳于60年代初期提出来的知识结构理论,是20世纪以来具有代表性的现代教学理论之一,其核心理论是强调教师在教学过程中应该让学生掌握所学学科知识的内在结构.数学的知识结构是指由知识之间内在的联系所联结而成的整体.它包含的两个基本要素：一是最基本的知识;二是其他知识与最基本知识的联系及方式.所谓知识结构教学是指教师启发学生将获取离散的、表象的知识进行整理加工,在头脑“内化”的基础上形成多要素、多层次、多系列的网络状的纵横联系的动态知识结构.

当前,高考内容越来越重视对学生数学能力的考察,对学生数学素养的考察.但大部分学校高三的复习仍然是课上灌输式教学,课下题海战术,缺乏思维的训练.我们知道,高三复习任务重,时间紧,在这个过程中,学生知识量的增加较快,但此时这些知识还没有来得及整理,就像是仓库里堆放的物品,是杂乱的堆积在一起的,因此,知识无法形成能力.因此要学生有较为充足的时间对所学内容进“再学习”,应该提供了从宏观上对学过知识进行梳理与重组的机会.而知识结构教学就是建立起了所学知识之间的内在联系,使知识不再是杂乱的堆积,而是有秩序、有层次的“串联”.这时,如果解决问题需要提取某个知识时,就可以沿着已经建立起的某种联系去找,显然,这样更容易找到,也自然加快了问题解决的进程,提高了数学能力.本文运用具体实例说明如何通过知识结构教学,优化高三复习的效果.

一、建立知识结构,帮助学生整体把握知识,利于学生分析检索相应方法,迅速找到解题思路.

切实掌握数学知识是顺利解答问题的基础,在高三教学和复习过程中,讲每一章之前,要介绍这一章内容的整体框架,使学生对整章内容有一个整体把握.首先让学生对知识点中每种问题的基本方法清楚掌握,这样在解题时,学生就能由题目提供信息的启示,从记忆系统里检索出有关信息进行综合,选取出与题目的信息构成最佳组合的信息,从而找到最优解题途径.

以《导数》这一章对文科的高考要求为例.我们建立知识结构图如下：

图1

通过结构图,在教学中引导学生,使学生在头脑中把自己的导数章节体系建立起来,在大脑中明确导数是什么? 导数如何计算? 导数有什么用? 在什么条件下用导数? 如何用?导数与哪些知识结合? 有哪些主要解题途径? 哪些地方容易错? 等等,学生掌握了知识结构中每种问题的主要方法,当学生依据条件检索时,在有序的结构体系中便很容易检索到所需的知识和方法.

例如：(2016年北京文科20 题)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)设a=b= 4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;

此题的考查内容是导数,第一问具体考察的是导数的几何意义,切线方程(含参),第二问导数与其它知识的结合,导数与方程的结合,是函数零点问题,而函数零点问题的解决方法学生头脑中已经清晰,所以便很快会找到解题途径.

可见,引入知识结构可以在复习时对章节知识有一个直观的、整体的把握.这样使学生依据自己拥有知识体系,分析题目信息,检索出解题思路、方法及相应的知识.防止知识的漏洞,掌握基本知识点.

二、建立知识结构,帮助学生重新认识知识的形成过程,增强学生对数学知识的理解和迁移能力.

根据认知心理学理论,学生对任何新知识的学习总是在已有的知识基础上进行,是对原有认知结构的改组、扩大和调节.因此,一个好的数学知识结构,首先要揭示数学知识内在的本质联系.[3]例如下面一个问题：

例如：若x、y满足求xy的范围?

高三学生大多数都不会解答,为什么呢? 因为老师没讲过这种类型的.对于大多数学生来说只要对试题形式稍作改变,就无能为力了,根本问题是没有明白这个知识的本质.下面呈现一下我由知识结构设计的教学过程：

呈现线性规划在不等式这章的位置

图2

分析

环节1若x、y满足则的最小值为____.

环节2动态呈现挖掘线性规划问题的本质

图3

环节3 设计变式强化问题本质;

变1 若x、y满足求x2+y2的最小值.求范围.

变2若x、y满足求(x+1)2+(y+2)2的最小值.求范围?

变3若x、y满足若z=ax+y的最小值为4,求a的值?

环节4问题延伸,灵活运用问题本质

变4若x、y满足求xy的范围?

通过过程,总结系统结构：

图4

从函数上位进行总结.知识结构图揭示线性规划的整体系统,及在函数问题中的位置.对函数的共性做概括发现,目标函数形式无论是线性还是非线性,都是二元函数,所以,这类问题本质上是一类在约束条件下的二元函数最值问题,而二元函数最值问题的解法,根据已经梳理出的函数方法体系,要么通过约束条件转化为一元函数最值问题,要么引入参数,利用参数的几何意义,数形结合加以解决.这才是这类问题解法的本质,如果认识到了这一点,只需引入参数k,令xy=k,得此时k的几何意义既可以看作矩形面积,也可以根据反比例函数中k的大小对图形的影响的几何意义完成.因此,即使目标函数进一步变为与指数函数、对数函数有关的其他类型都可以迎刃而解.[5]

三、建立知识结构,精选典型例题,一题多变,促进学生对数学知识的灵活运用.

我们知道课堂上学生的参与不仅仅是行为上的参与,更重要的是思维上的参与,要通过各种方式激活思维,深化思维,不断地提高数学的思维能力.在高三每节课的复习中,首先在备课前列出本节课要让学生学会的知识的结构图,然后由知识结构挑选典型例题,然后引导学生去变化、去引申、去发现,在变中求活,变中求新,这样既提高了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,同时也有利于培养学生的思维品质和数学素养.[9]

例如：高三第二轮的《导数与不等式的关系》的综合复习中,我由导数与不等式的考点,设计知识结构,然后设计了以下变式教学,增加了课堂教学的信息容量,提升学生的理解力.

图5

问题f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x,f(x)≥h(x)在[1,+∞)上恒成立,求m的取值范围.

变式1f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,存在x ∈[1,+∞)使f(x)≤h(x)成立,求m的取值范围.

变式2f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,对任意x2∈[1,2]都存在x1∈[1,+∞)使f(x1)≤h(x2)成立,求m的取值范围.

变式3若存在实数a ∈[-2,2],使不等式ax2-ax-6+a ＞0 恒成立,求实数x的取值范围.

又如：体现“方程、不等式、函数”等价转换,殊途同归、有效转化,我设计了以下问题和变式：

例函数f(x)=ex -2x.当x ＞0 时,方程f(x)=kx2-2x无解,求k的取值范围.

本题通过参变分离,把方程无解的问题转化成两个函数图像没有交点的问题.

方程根结构图：

图6

因此此题还可以做以下变形：

问法一当x ＞0 时,函数y=f(x)与函数y=kx2-2x图像没有公共点,求k的取值范围.

问法二当x ＞0 时,函数y=f(x)-(kx2-2x)没有零点,求k的取值范围.

问法三当x ＞0 时,不等式y ＞kx2-2x恒成立,求k的取值范围.

问法四当x ＞0 时,函数y=f(x)图像在函数y=kx2-2x图像上方,求k的取值范围.

函数、方程、不等式的关系密切,有意识地利用三者之间的关系对问题进行转化,从而简化解题.结构图的价值是培养学生从不同的角度、不同的侧面去观察问题,产生联想,从而解决问题.

根据知识结构图对教材中的一些典型习题进行变换、拓展、深化,引导学生从典型的例题出发去变化、去引申、去发现,最后学生在体验后总结系统知识结构,这样学生在变化和探究之中获得解决问题的方法,建构对知识的理解.如果长期训练,能逐步形成和扩展知识结构系统,使学生能在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”,形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系.学生理解力增强,数学能力得到提高.

四、建立知识结构,整体规划解题思路,促学生从多角度分析转化问题,优化解题思路.

教学中我们发现,很多学生在学习新东西时,喜欢总结一定的解题模式,然后他们会机械地按照这个固定的模式去解题,对此,若不随时予以注意,也很可能让学生形成某种思维定势,造成思维上的呆板和僵化,不能灵活选用合适的方法.复习过程中我通常在学生熟悉题目条件后,让学生自己规划解题思路,清楚每种思路的方法、适用的条件、可能出现的困难,从而优化解题思路.

图7

分析给出这个题目后,我不是直接让学生做,而是让学生规划基本方法和思路,所以学生根据结构图,规划出下面几种主要方法：

法一因为当x ∈(0,+∞)时,f(x)≥1 恒成立,所以等价于f(x)min≥1.

法二因为当x ∈(0,+∞)时,恒成立,所以a · ex≥x恒成立,所以a · ex - x≥0 恒成立,令F(x)=a·ex-x,所以F(x)min≥0.

法三因为当x ∈(0,+∞)时,恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以恒成立,令所以只需F(x)max≤a.

法四因为当x ∈(0,+∞)时,恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以a ＞0 时,恒成立.令所以时,恒成立.令所以

为了完成上述转化,要把握两个关键：(1)针对问题的需要,合理地构造函数,找到问题转化的突破口; (2)通过整体规划,优化方法.“变形、再构造”以实现问题的深度转化.是整体规划的结构,使思路全面,通过适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口,使问题简单化、明确化.

五、建立知识结构,根据知识结构图上好试卷讲评课,进行题组训练,由点到面.

高三很多时候是试卷讲评课,讲卷子,做卷子,最令老师和学生懊恼的是已经做过的题型甚至原题,仍然做错或不会做.根本原因还是在于知识体系没有得到强化,这是发挥结构教学最好的时候.试卷讲评,不求面面俱到,抓住这套试卷要解决的主要问题,精选典型题,联系结构,以点到面.所以我在讲解试卷的时候对于典型题或学生出现问题较多的题型,采取拉出知识结构体系的方式训练.比如圆锥曲线部分,对于曲线上点的问题.

图8

以圆锥曲线为例,要分析：

1、这张卷子还有没有其他的圆锥曲线的题?

2、该题是的圆锥曲线的哪类问题?

3、该题在圆锥曲线知识结构中相应的“坐标”是什么?

4、当时没分析出来或错误的原因是什么?

5、能把此题变化一下吗? 变化条件、结论、引申等

6、老师补充一到或两道圆锥曲线知识结构中此卷未出但常考察学生易错的题目.

7、学生当即上黑板板演,分析.

特别是到了高三后期的复习(几次模拟训练)时候,要有一个由易到难,再由难到易的过程.使学生在形成完整知识结构的基础上,有一个良好的心理调适过程,进而在考试中发挥出最佳水平.

系统论告诉我们,系统地组织起来的材料所提供的信息,远远大于部分材料提供的信息之和.就数学而言,只有将各个单元和分散知识点,有机的纳入数学知识的整体结构之中,形成整体性的“认知框架”,才能显示其应有的活力.华罗庚说：“学习数学一定要经过‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程.”这里的“由薄到厚”是学习、接受的过程,“由厚到薄”是消化、提炼的过程,这里的“由薄到厚”理解为由知识结构发散引申、更好地理解知识,“由厚到薄”的过程归纳概括,升华,将知识系统化.只有同时经历这两个过程,学生才能达到融会贯通,透彻理解.

著名心理学家布鲁纳说：“不论我们选教什么学科,务必使学生理解各门学科的基本结构.经典的迁移问题的中心,与其说是单纯地掌握事实和技巧,不如说是教授和学习结构.”可见,高三复习中应注重知识结构教学,帮助学生建立相应的知识构图,这对提高学生学习兴趣,提高学习效率是十分必要的.