由博返约,一以贯之*——一节《反比例函数复习课》的思考

广东省东莞市东莞中学松山湖学校(523808)洪文惜

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“义务教育阶段数学课程的设计,充分考虑本阶段学生数学学习的特点,符合学生的认知规律和心理特征,有利于激发学生的学习兴趣,引发学生的数学思考;充分考虑数学本身的特点,体现数学的实质.”[1]初中数学复习课的主要任务是将所学的知识系统化,灵活运用所学的知识解决问题.

反比例函数是初中函数的重要组成部分,中考中主要考查反比例函数的概念、图象和性质,常与一次函数结合.笔者做了2011年-2018年广东中考数学考题考点分值的统计(如下表),发现最近几年与反比例函数有关的考题不断推陈出新.

表1

由于反比例函数知识的特殊性和相对独立性,造成了学生对此知识点的重视不够,由此形成知识点欠缺,从而把握不住反比例函数的中考要求.在学校教学开放日中,我参与了一节《反比例函数复习》一图一课式的磨课和研讨,受益匪浅.

一、还生时空,完成知识的自我梳理

设计意图学生自己课前完成思维导图,老师留有足够的空间给学生将零散的知识内容整理,内化成自己的认知.老师批改后进行二次备课,并在课堂上展示优秀的复习结构图,既完成了知识的梳理,又激励了学生.

图1 学生的复习提纲

二、借题梳理,归纳出本质问题

复习课覆盖的“基础知识”,教师往往都是通过归纳成条文或画图表概括来梳理,学生感觉枯燥乏味,难以激发学习热情.因此精选系列简单的典型练习,通过问题呈现反比例函数的概念和一般形式以及图象与性质,并通过针对性的讲解,归纳本质问题的解法,以增强知识点之间的融会贯通与理解.

知识点1 反比例函数的概念

1.下列函数关系式中,y是x的反比例函数的是( )

A.y=B.y=C.y=D.y=

2.一个等腰三角形的面积为12,底边长为x,底边上的高为y,则y关于x的函数解析式是( )

A.y=B.x=C.=24 D.y=

设计意图用两道基础题复习反比例函数的概念.第1题是反比例函数的解析式的辨析,在课上还可以引导学生说出的另外两种形式：xy=2 和y=2x-1,复习反比例函数三种三种常用表达式.第2 题是三角形面积公式的考查.

知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式

3.已知点(2,3)经过反比例函数的图像,则下列各点中,也在这个图像上的点是( )

A.(-1,6) B.(-3,2) C.(3,2) D.(6,-1)

设计意图复习已知一个点坐标求反比例函数解析式和k的代数意义：坐标之积不变性.

知识点3反比例函数的图像与性质

4.对于函数y=下列说法中错误的是( )

A.图像位于第二、四象限

B.它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形

C.y随x的增大而增大

D.当x ＞2 时,-2＜y ＜0

5.已知点A(2,y1),B(4,y2)都在反比例函数的图像上,则y1,y2的大小关系是____.

6.函数y=ax+a与在同一直角坐标系中的图像可能是( )

设计意图复习反比例函数的图象和性质：

①k ＞0,图象位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大;k ＜0,图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.

②双曲线关于原点成中心对称,且关于直线y=x和直线y=-x成轴对称.

知识点4 比例系数k的几何意义

图2

①若四边形BFOE的面积为6,则反比例函数的解析式是____;

②三角形ADO的面积是____.

设计意图复习比例系数k的几何意义：S矩形=2S△=|k|,教材上没有任何说明,但在平时的练习中出现较多,帮助学生归纳总结,做题时可以事半功倍.通过这两个练习,让学生感受“数形结合”的数学思想,通过“以形助数”或“以数解形”实现抽象思维与形象思维相结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而优化解题途径.

三、关注学情,寻找课堂生成点

孔子曰：因材施教! 其实质就是关注学情! 凡事预则立,不预则废,无论是在自己熟悉的班级上课还是借班上课,首先要做的事情就是学情诊断与预设.比如,本节课课前预习的设计是根据反比例函数的各知识点设置一道基础题目合成一份学习单,在课前发放让同学们做,帮助梳理知识,巩固解题方法,照顾到了每位同学.老师收上来批改后,再进行二次备课,将问题变式,逐步提高难度,拓展提升,让学有余力的同学得到挑战并收获成功的体验,避免优生出现“这些我都会了还用听嘛”的尴尬局面.

四、自主编题,完善学生思维方式

爱因斯坦曾说过：“提出问题比解决问题更重要”.让学生自主编题,实质上是让学生提出问题.在学生编题的过程中,一方面,要对所学的知识深入理解并灵活运用;另一方面,要求学生有敏锐的眼光、勤于思考的习惯和创新的精神,并能通过现象看出问题的本质,有助于培养思维的独立性和创造性.

教学案中的探究性学习部分呈现以下题目,让学生自己添加一条直线后提出问题并求解,从课堂的反应来看,学生热情高涨,高质量地完成编题作业.

探究学习如图3,反比例函数图像经过点A(1,4).

图3

(1)求出反比例函数的解析式;

(2)如果在上图中,要求添加一条过点A的直线,请思考：可以如何添加?对于新图,试着提出一些数学问题? 并写出所提问题的解答过程.(参阅做过的相关练习,鼓励多种不同方法的尝试)

2012年至2018年间,广东省数学中考中,反比例函数考点中主要考查反比例函数的图象、性质、不等式和原点三角形或原点矩形面积.老师收集学生自编题目,总结成以下两个变式题目,涵盖了反比例函数与一次函数综合考查.批改之后,可将这两类问题在课堂上小组合作探究并讲评.

变式一如图4,反比例函数图像经过点A(1,4),过点A的直线与曲线交于点B(-4,b),

(1)求直线AB的解析式;

(2)反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围是____;

图4

(3)连接OB和OA,求△AOB的面积.

变式二如图5,反比例函数图像经过点A(1,4),过点A的直线与曲线交于点B(a,1),

(1)求直线AB的解析式;

(2)一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是____;

图5

(3)连接OB和OA,求△AOB的面积.

在教育改革不断深入的今天,通过自主编题开启学生自我思考之门,变被动做题为主动编题,变被动接受知识为主动获取知识,从而进一步自觉学习和感悟数学,真正成为数学学习的主人,是对所学知识的灵活运用,是创新思维的提炼和升华,是新课堂所追求的至高境界.

五、归纳方法,促进学生经验积累

变式一与变式二两问题类似,区别在于一次函数与反比例函数的两交点位置的不同.两个问题是学生自主编的题目,所以完全交由学生小组合作探究并展示交流.

两个变式的第二问考查一次函数值与反比例函数值大小的比较,此问题是易错点.对于这类问题,可以教学生“三线四区”的划分方法.以变式一为例,用x= 1,x=-4,y轴三条直线分割平面成 ①- ④四个区域,在每个区域中依次观察,图象在上方的函数值较大,方法直观,学生容易操作并运用,让复习达到事半功倍.

图6 “三线四区”

再如,变式问题中的第三问都是求△OAB的面积.学生在合作交流时,老师可以引导学生归纳出求面积的多种方法,并在讲台上投影展示,以变式二为例,有以下的四种方法可求出△OAB的面积.

图7

六、拓展训练,提升学生的思维品质

数学复习课注重知识的拓展,拓宽解题思路,帮助学生培养思维的发散性,努力提升学生的思维品质,最终使学生掌握试题的精髓,抓住数学的本质.如本次复习课设计了以下的拓展提升题目,让学有余力的同学进行研究.此题在原有的基础上增加了难度,对学生来说,是一种思维不断提升的过程,具有一定的挑战性.

拓展提升在矩形AOBC中,OB= 6,OA= 4,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,F是BC边上一点,过点F的反比例函数图像与AC边交于点E,连接BE,EF.

图8

(1)当点F为BC的中点时,求该函数的解析式;

(2)当k为何值时,△BEF的面积为最大,最大面积是多少?

(3)在(2)的条件下,在x轴上是否存在一点P,使S△P OE=S△BEF? 若存在请求出点P坐标.若不存在,请说明理由.

七、关注思想方法,提升学生数学核心素养

提高学生的数学核心素养是新课程改革的重要目标之一.数学课程改革向纵深处发展的过程中,数学核心素养的培养被视为“方向标”,数学教学离不开数学思想方法,数学教学的核心是数学思想方法的渗透.《课标》(2011年版)提醒我们数学思想蕴含在数学知识的行程、发展和应用过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括.例如,在本节复习课的教学中,以一个反比例函数的图形为基础,通过添加一条直线生成新问题,体现了数形结合的思想.变式问题中,对于“反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围是____.”这一问题,运用“三线四区”方法依次做出判断,用到数形结合(画出满足条件的图形和直线)、分类讨论(对不同区域进行讨论)的思想.数学思想是数学的精髓,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程之中.教师应以数学知识为载体,充分挖掘和渗透数学的思想方法,让学生不断地积累、不断地感悟、不断地运用,促进学生数学思想的形成与发展,从而不断提高思维能力和创新能力,全面提升学生的数学核心素养.

数学复习课中,教师可从一个基本图形或一道题目(一般是课本例、习题和中考试题)出发,以一贯之,开放性地设计问题,鼓励学生从多角度解决问题,并尝试让学生自主编题,提出问题,为后续进一步挖掘题目作铺垫.同时关注学情,动态生成,让课堂更加自然、流畅,渗透数学思想方法,让数学复习课成为学生的主阵地.