以垂径定理为例探究数学命题的教学设计

孙立萱

【摘要】数学命题是数学学习的重点，因此，教学过程的设计，成为教学成功的关键.现以“垂径定理”的教学设计为例，整理归纳关于“数学命题”的教学设计.

【关键词】数学命题;垂径定理;教学设计

一、对数学命题的初步认识

在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫数学命题.数学中的命题教学，主要是指数学公理、定理、公式和法则的教学.

对数学命题的教学，基本要求是：使学生分清命题的条件和结论;掌握命题的推理过程、证明思路及相应的数学方法;其中在讲解数学命题证明时，应着重分析证明的思路，并将证明思路的探索过程展示在学生面前，使学生充分感受命题及证明方法背后深藏的数学思想方法，以便学生可以利用所学命题解决实际问题.因此，良好的教学设计是达到这些要求的有力保障[1]-[2].

二、以“垂径定理”为例进行数学命题教学设计

数学命题教学设计的重点主要是结论的发现过程和推导（证明）的思考過程，针对命题的教学要求，将“垂径定理”的教学设计分为引入、证明、应用三部分.

（一）“引入”的设计

在“学生参与学习活动，主动地发现问题解决问题”的基础上引进课题.

1.引导学生思考：我们所学的圆是否为轴对称图形;若是，对称轴在哪？

组织学生利用课前准备的圆形纸片进行实验：沿着过圆心的任意一条直线对折，重复几次，得到结论：首先圆是个轴对称图形;其次圆有无数条对称轴;并且对称轴是各个直径所在的直线[3].

2.接下来引导学生在自己准备的圆中作图：① 任意作一条不是直径的弦AB;② 作直径CD垂直弦AB垂足为E.让学生分析直径CD与弦AB之间的关系.发现结论：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”引出命题[4].

（二）“证明过程”的设计

1.对定理的结构进行分析

教师启发学生分析讨论，写出题设、结论.

2.实验—观察—猜想：引导学生将上述圆形卡片沿直径CD对折，观察重合部分，发现对应的线段、弧完全重合，由此得出猜想：如图1所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，AC=BC，AD=BD.

3.证明：引导学生用“叠合法”证明此定理.

4.向学生渗透证明过程中的“转化划归”的数学思想.

5.结合图形用几何语言表述，教师板书出规范的简明的证明过程[4].

（三）“应用”的设计

学习数学命题定理的目的是应用：在建立实际问题的数学模型后，使用相应的定理来解决问题.所以在数学定理的学习中，我们要更加注重在“应用”方面的培养，其中“转化划归思想”是解决数学问题的一种重要思想方法.

例 如图2所示是一名同学从“日出”照片上抽象出来的画面，太阳与海平面交于A，B两点，测得“太阳”的半径是5 cm，AB=8 cm，若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海面的时间为16 min，则太阳升起的速度为多少？

解析 本题解决的关键是利用“转化”的数学思想，将实际问题转化成数学模型，利用垂径定理构造直角三角形，接着运用勾股定理求出海平面到圆心的距离，进而求出太阳全部跳出海平面的距离.

作与AB垂直的直径，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OB.

根据垂径定理可知BC=12AB=4 cm.

在Rt△OBC中，OC=OB2-BC2=52-42=3 cm.

所以DC=OD+OC=8 cm，

则速度为8÷16=0.5 cm/min.

我们要善于发现身边可用“垂径定理”来解决的实际问题（拱高问题、圆管问题、最短距离问题），然后建构数学模型，利用“转化划归”的数学思想进行解决[5].

三、结 语

数学命题的广泛应用体现了数学的工具性特征和数学的力量.在命题的发现中，不但要让学生参与学习，还要让他们在获取命题的过程中，逐步学会数学的认识方式;在命题的证明中，首先要分清题设与结论，逐步体会到数学“言必有据”的推理特征，揭示证明中的数学思想与方法，重视书写格式与要求;在命题的运用中，感受到数学的工具性和功用性，初步感受到数学技术对人类的贡献[5].

【参考文献】

[1]潘瑞.基于数学命题教学下的勾股定理教学设计研究[D].成都：四川师范大学，2014.

[2]孙素珍.高中数学定理的教学设计[J].数理化解题研究，2013（10）：18.

[3]江治.垂径定理教学设计[J].课程教育研究，2014（15）：190-191.

[4]孙奇静.《垂径定理》教学设计与反思[J].中小学教学研究，2013（10）：48-50.

[5]徐章韬，陈林.数学命题的认识及其课堂教学设计[J].课程·教材·教法，2014（11）：81-85.