浅谈正态分布及其应用

洪小莹

【摘要】在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.正态分布的性质和应用在概率和统计中占有重要地位.

【关键词】正态分布;性质;应用;概率

一、正态分布的概念及其性质

（一）正态分布的相关概念

正态分布又称高斯分布，其函数图像是一条光滑的钟形曲线，我们称它为正态曲线.

二、正态分布的应用

（一）在学生学习情况中的应用

标准分数又称Z分数，它以标准差为单位，表示一个分数在集体中所处相对位置的量数，其计算公式为Z=X-XS.

下面我们介绍标准分数的使用方法.

例1 八年级一班50名学生的语文测验成绩X=70分，S=5分.小明考了75分.求比小明成绩高的学生占全体考生的百分之几（这里n=50≥30是大样本，测验分数服从正态分布）.

解 把原始分数转化成标准分数得

Z=75-705=1.

由上式可知小明的成绩多平均分一个标准差，查“正态分布表”，得比小明的成绩低的学生占84.3%，比小明成绩高的学生占15.7%.

例2 龙门二中七年级期中考，其中英语分数X1=65分，S1=6分;地理分数X2=82分，S2=10分.小王英语考了71分，地理考了92分;小洪英语考了77分，地理考了84分.如果把英语和地理分数合在一起排名，请问小王和小洪谁排在前边？

解 由于英语和地理的原始分数的参照点（零点）与单位不同，不能直接比较与相加求和，因此，应当先将原始分数转化为标准分数，然后合成和排队.所以，正确的处理过程为

由此可知小洪排在小王前面.

（二）在日常概率统计中的应用

例3 小杨去车站搭车，有两条路线可以選择.第一条路程短，但交通拥挤，时间（单位：分钟）服从正态分布N（50，100）;第二条路程长，但阻塞较少，时间服从正态分布N（60，16）.求：

（1）假如还有70分钟汽车就出站，他应走哪一条路线？

（2）假如只有65分钟汽车就出站，他应走哪一条路线？

分析 从概率角度先考虑，可以比较两条路线按时到达的概率大小，哪条大就走哪条路线.情况（2）与（1）同.具体解法如下：

（1）假如还有70分钟汽车就出站，走路线一到达的概率

P（ζ≤70）=Φ（70-604）=Φ（2）=0.977 2.

（2）走路线二到达的概率

P（ζ≤70）=Φ70-604=Φ（2.5）=0.993 8，

所以应走路线二.

（2）假如只有65分钟汽车就出站，走路线一到达的概率

P（ζ≤65）=Φ65-5010=Φ（1.5）=0.933 2，

走路线二到达的概率

P（ζ≤65）=Φ65-504=Φ（1.25）=0.894 4，

所以应走路线一.

【参考文献】

[1]李勇，等.数学选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]王汉澜.教育测量学[M].郑州：河南大学出版社，1986.

[3]吴赣昌.概率论与数理统计教程[M].北京：中国人民大学出版社，2000.