让推理能力培养贯穿数学学习全程

虞益锋

摘要：推理一般分为合情推理和演绎推理两种形式。合情推理又可以分为归纳推理、类比推理和概率统计推理等形式。在小学数学教学中，要将学生推理能力的培养贯穿整个数学学习过程，让推理思想像春雨一样不断地滋润学生的心田。具体做法有：挖掘推理资源，经历推理过程，反思推理经验。

关键词：推理能力推理资源推理过程推理经验

推理是最基本的数学思想之一，也是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的关键能力之一。推理一般分为合情推理和演绎推理两种形式。合情推理是“从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理”。合情推理又可以分为归纳推理、类比推理和概率统计推理等形式。演绎推理是“从一般到特殊的推理，也就是从已被确认的一般事实和确定的规则出发，推出某个具体的结论”。在小学数学教学中，笔者尝试将学生推理能力的培养贯穿整个数学学习过程，让推理思想像春雨一样不断地滋润学生的心田。具体的做法如下：

一、挖掘推理资源

在小学数学课程内容的四大领域中蕴含着丰富的推理素材。教师在教学中应根据具体内容，恰当地挖掘有利于培养学生推理能力的资源，让学生在探究知识、解决问题的过程中逐步形成推理能力。

在“数与代数”领域，数列规律、整数四则运算法则、运算定律、商不变的规律、小数的性质、分数的基本性质、比和比例的基本性质等的探究都可以运用归纳推理;由万以内数的读写推廣到亿以内数的读写，由多位数乘一位数推广到多位数乘多位数，由商不变的规律推广到分数的基本性质和比的基本性质，分数实际问题与百分数实际问题的联系，不同素材“鸡兔同笼”问题的联系等都可以运用类比推理;根据概念与性质等进行正误判断、大小比较、恒等变形、等量代换等都可以运用演绎推理。例如，根据2的倍数的特征判断一个数是不是2的倍数，可以运用“三段论”的演绎推理方法：大前提是2的倍数的个位是0、2、4、6、8，小前提是需判断的数的个位是几，最后推出结论。

在“图形与几何”领域，长方形的面积公式、长方体的体积公式等的探究都可以运用归纳推理;正方形的面积公式、正方体的体积公式的探究都可以运用演绎推理;学习了平行四边形面积公式的推导，可以通过类比推理发现三角形、梯形、圆等面积公式的推导方法;学习了三角形的内角和，推导多边形的内角和时，可以综合运用归纳推理、演绎推理和类比推理。

在“统计与概率”领域，概率统计推理占有重要地位。如苏教版小学数学四年级上册《整理与复习》单元“统计天地”部分的第19题提供了这样的情境：三位同学在同一个口袋里摸球，每次任意摸出1个球然后放回，每人摸60次，他们摸到红球与黄球的次数分别是45与15、42与18、44与16;三个口袋装着红球和黄球的个数分别为2和2、3和1、1和3。要求学生根据摸球结果，推测三位同学在哪个口袋中摸球的可能性最大。

在“综合与实践”领域，需要综合、灵活地运用合情推理与演绎推理，分析、解决真实情境问题。如苏教版小学数学六年级下册“大树有多高”活动，通过测量、计算竹竿长与影长的比值得出“同一时间，竹竿长与影长成正比例”需要合情推理，运用规律推算大树的高度需要演绎推理。

二、经历推理过程

能力的形成、发展与知识的获得不同，是一个长期的、渐进的过程。能力不是教师教出来的，而是学生在动手操作、动脑思考、用心领悟的数学活动中形成和发展的。因此，在教学中，教师要积极创造推理的机会，让学生经历推理的过程，促进学生推理能力的发展。

（一）合情推理，探索创新

1.归纳推理。

归纳推理是“由特殊到一般的推理，即根据一类事物中部分（或全体）对象都具有某一属性，推出该类事物都具有这种性质”。归纳推理，尤其是不完全归纳推理，在小学数学学习中有着广泛的应用。不完全归纳推理的例证材料相对较少，有利于学生迅速发现数学事实的本质，培养思维的敏捷性，同时发展概括能力。相应地，由于不完全归纳推理是根据“个别”推断“一般”，所以在运用不完全归纳推理时，要引导学生尽可能多而广地考察事物对象。

例如，教学苏教版小学数学四年级上册“商不变的规律”时，可以设计如下环节：（1）引导学生填写下页表1，观察发现：算式100÷20中，被除数和除数同时乘2、乘4、除以2、除以4，商不变。（2）在下页表1下面增加一栏，请学生照样子把算式100÷20继续变一变，让学生独立思考、全班交流得出：把算式100÷20的被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。（3）让学生举出其他除法算式，算一算、比一比，并找找是否存在反例，进而交流得出商不变的规律。这里，学生就经历了由一个例子到多个例子，逐步归纳发现商不变规律的不完全归纳推理过程。

被除数除数除法算式商10020100÷205100×220×2200÷40100×420×4100÷220÷2100÷420÷42.类比推理。

类比推理是“从特殊到特殊的推理，即根据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质”。类比推理是富有创造性的推理，有利于学生发现新问题、找到新方法、获得新知识，还能培养学生的迁移能力和创新意识。

例如，教学苏教版小学数学六年级上册“比的基本性质”时，可以设计如下环节：（1）回顾比与除法和分数的关系、商不变的规律、分数的基本性质。（2）引发猜想：根据回顾的知识推想一下，比会有怎样的性质？（3）出示4∶5、3∶8、16∶20、50∶40、40∶50、9∶24，引导学生根据刚刚的推想找出相等的比，并计算比值，证明找出的同一组比是相等的。这里，引导学生通过类比推理“再发现”“再创造”了比的基本性质，使得学生不仅获得了新知识，而且沟通了知识之间的联系，从而发展了类比推理能力，形成了概括化的认知结构。

3.概率统计推理。

概率统计推理是概率推理和统计推理的合称，概率推理是“通过对一类事物部分对象所具有属性的随机性的考察，推测出每一类事物都具有这种属性的可能性”，统计推理是“在对一类事物抽样调查的基础上，根据样本具有某种属性的程度或数量，推测出该类事物总体所具有这种属性的程度或数量”。概率统计推理虽然是由部分推出整体，但一般是建立在抽样调查和数据分析的基础上的，不同于归纳推理中的简单枚举。概率统计推理有利于培养学生根据数据进行选择、判断的意识，提高学生利用数据解决问题的能力。

例如，教学苏教版小学数学二年级下册《数据的收集和整理（一）》单元的练习“如果在小组里组织一次体育活动，你认为哪项活动最受大家欢迎？”或苏教版小学数学五年级上册“班级联欢会”活动中的调查“同学们喜欢的水果、饮料有哪些？喜欢的奖品呢？”时，可以设计如下环节：（1）通过思考、交流确定调查方案;（2）根据调查方案进行调查;（3）整理数据，制成统计表或统计图;（4）分析统计表或统计图中的数据，得出结论。这里，整个统计过程就是统计推理的过程，统计结果能满足小组或班级绝大部分学生的需要。

（二）演绎推理，理性严谨

演绎推理对理性的重要意义在于，对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。它最典型、最重要的应用通常存在于逻辑和数学证明中。小学数学教学虽然不要求严密、规范的演绎推理，但是，很多结论的推导过程中可以运用演绎推理的省略形式，比如，由锐角比直角小，直角比钝角小，推出锐角比钝角小。教学中，要引导学生用有根据、有条理的数学语言表述推理过程，体验演绎推理思想，发展思维的严谨性和连贯性。

例如，教学苏教版小学数学五年级下册“半径、直径的特征”时，可以设计如下环节：（1）教学直径名称。引导学生通过折一折、看一看、画一画、量一量、比一比等操作活动探究直径的特征。（2）教学半径名称。引导学生由半径的“半”字猜想半径和直径的关系，得出半径概念。（3）引导学生由半径和直径的关系推理得出半径的特征，也可以让学生再动手操作证实自己的想法。这里，根据半径和直径的关系以及直径的特征，演绎推理得出了半径的特征，使得同类知识教学的承接少了一些重复，同时帮助学生学会合乎逻辑地分析和思考问题。

（三）合情演绎，有机融合

就学好数学或发展智力而言，合情推理和演绎推理都是不可或缺的。当儿童思维中合情推理和演绎推理处于有机统一的状态时，他们才真正具备了抽象逻辑思维能力。在小学中、高年级的数学教学中，应该重视合情推理和演绎推理的有机结合。

一是在合情推理中运用演绎推理，提高合情推理的“可靠性”。例如，教学苏教版小学数学三年级下册“长方形和正方形的面积”时，可以设计如下环节：（1）用几个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写所用的正方形的个数、摆出的长方形的面积、摆出的长方形的长与宽。（2）用1平方厘米的正方形测量长与宽分别为4厘米与3厘米、5厘米与4厘米的长方形的面积，并说说量法与想法。（3）直接求长为7厘米、宽为2厘米的长方形的面积，思考长方形的面积与什么有关，可以怎样求长方形的面积。（4）思考正方形与长方形有怎样的关系，可以怎样求正方形的面积。这里，先从面积的概念和面积单位的一般意义向多个特殊的长方形演绎，再归纳长方形的面积公式，然后把正方形看作特殊的长方形，通过演绎推理获得正方形的面积公式。

二是运用演绎推理检验合情推理的结论是否正确。例如，教学苏教版小学数学五年级上册“钉子板上的多边形”时，可以引导学生先根据多边形内只有1枚、2枚钉子的情况，发现多边形的面积与它边上的钉子数的关系，再引发猜想：如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上的钉子数是怎样的关系？如果多边形内没有钉子呢？然后通过围一围、算一算加以验证。

三、反思推理经验

波斯纳认为：成长=经验+反思。由此可以看出，学生从生活、学习中获得的直接或间接经验都必须经过个体的有效反思，才能内化为自身的能力。自我反思的过程，一是重建认知结构，使其与原有知识的逻辑联系更明晰;二是使一些有意义的经验、方法、思想得到及时的提取。在教学中，教师要引导学生回溯思考过程，积累数学活动经验，发展数学推理能力。

例如，教学“比的基本性质”时，可以引导学生反思：我们是怎样发现比的性质的？再如，教学“班级联欢会”时，可以引导学生反思：我们是怎样确定同学们喜欢的水果、饮料和奖品有哪些的？又如，教学“长方形和正方形的面積”时，可以引导学生反思：长方形和正方形的面积公式是怎样推导出来的？

参考文献：

[1] 史宁中.数学思想概论（第4辑）：数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2010.

[2] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[3] 陈祥彬.在小学数学教学中培养学生的合情推理能力[J].小学数学教育，2012（11）.