聚焦变式，激发思维

☉江苏省江阴市成化高级中学 王 勇

在数学教学中，我们经常会遇到一类学生能听懂却不能独立完成的所谓难题，如何让这类问题变得容易，这一直困扰着教师和学生.笔者认为，教师在教学中应该帮助学生架“梯子”，让问题的难度“拾阶而上”，这样学生的思维就会爬得更高.笔者曾经上过一节《基本不等式的应用》的公开课，借助一道典型例题，从字母代换、结构调整、定值变换、类比猜想及定理性质的运用等多角度变式，探究知识发生的过程，揭示知识之间的联系，剖析问题的难易关系，培养学生的发散思维，从而建立化归思想，提高分析问题、解决问题的能力.下文就是这节课的大致过程，供同仁参考.

一、给出例题，多法证明

引例已知x＞0，y＞0，求证：

请同学们运用比较法、综合法、分析法分别对引例进行证明.六分钟后请学生交流（限于篇幅交流过程这里略）.

设计意图：要求学生利用三种不同的方法加以证明，是为了让学生掌握证明不等式的三种基本方法，从而为下面的变式证明打下基础.

二、提出问题，引发探究

师：若a＞0，b＞0，c＞0，则根据上面的引例，你能得出哪些结论？

生4：由上面三位同学的结论，我得到了新的结论：若a＞0，b＞0，c＞0，则

生5：我对引例进行了变式，设x=a-b，y=b-c，则有x+y=a-c，于是得到如下结论：若a＞b＞c，则即

师：同学们回答得不错！从刚才大家得到的结论可以看出，对数学复杂问题的研究往往是从简单问题入手的，由此可见，打好基础是万里长征的第一步.

设计意图：引例其实是为学生搭建的“梯子”，顺着梯子往上爬，学生不仅看到了数学的“无限风光”，而且还培养了他们的探究性思维.

三、变式例题，激发思维

变式1：已知x＞0，y＞0，求使得恒成立的n的最大值.

请大家思考一下，如何解决这个问题？

师：再设a+b+c=1，则可得如下变式：

变式2：已知a，b，c是互不相等的正实数，且a+b+c=1，求的取值范围.

变式3：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证

此变式请同学们课后自行证明.

设计意图：通过教师架梯，师生互动，进一步创设积极的探究氛围，从而激活学生的思维，并将学生的思维引向一个新的高度.

四、再变引例，优化思维

师：一题多解，是数学解题过程中的一大奇观，多题一解，一题多变，也是数学中常见的奇特现象.在引例中，若设x+y=1，我们可得如下变式：

变式4：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求证：

这道题的证明留给同学们课后完成，这里老师要请问同学们，你们能变式出相关的问题吗？

师：的确如此！请同学们课后完成：已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证

生12：老师，我也有发现！已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证本题除了转化为上题证明，还可以用三角换元进行证明，具体步骤如下：

设a=cos2α，b=sin2α，则有：

生13：我也发现了一个新题：已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：

本题可以这样证明：由条件a＞0，b＞0且a+b=1，可得0＜ab≤

设计意图：继续架起思维的“梯子”，把学生的思维引向更高层次，让他们自己发现问题，并解决问题，以此来培养学生的数学核心素养.

从本课的设计可以看出，每一个难题不是凭空出现的，而是建立在一个简单问题的基础上，教师在数学教学过程中，应教会学生善于发现规律、掌握规律，真正做到举一反三，触类旁通，那么教学效率必然会大大提高.教师在教学过程中，要认真研究教科书中的每一个知识点，并且上升到一定的高度，只有这样，才能让自己的教学达到“源于课本，高于课本”的理想境界.