基于DELC的“直线的参数方程”的教学设计

☉四川省成都七中 高峥

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

将深度学习线路DELC应用于“直线的参数方程”的教学设计，通过设计标准与课程、预评估、营造积极的学习文化（氛围）、预备与激活先期知识、获取新知识、深度加工知识和评价学生的学习等七个步骤，引导学生从不同视角引入参数，层层剖析直线的参数方程的基本特征，不断变换参数方程的形式进行应用，从而达到对参数的深层理解.

一、DELC的学习策略

《现代汉语辞典》里“深度”的定义是“触及事物本质的程度”、“事物向更高阶段发展的程度”；“学习”解释为“从阅读、听讲、研究中获得知识或技能”.泛言之，学习是通过亲身经历来获取知识、技艺、态度、心理概念或价值观的过程，促进脑记忆的可测变化的训练过程.Eric Jensen和LeAnn Nickelsen给出深度学习的定义为“新内容或技能的获得必须经过一步以上的学习和多水平的分析或加工，以便学生可以通过改变思想、控制力或行为的方式来应用这些内容或技能”，他们进一步给出了深度学习路线DELC，包括以下七种策略：设计标准与课程、预评估、营造积极的学习文化（氛围）、预备与激活先期知识、获取新知识、深度加工知识和评价学生的学习.我们尝试使用DELC对“直线的参数方程”进行教学设计.

二、直线参数方程的教学设计

1.设计标准与课程

设计标准与课程对于中国教师而言简便易行，因为教材已将相关内容安排在一起形成有意义的教学单元，教学大纲也已明确了学生所要达到的学习目标.教师仅需把握正在学习的章节在K12阶段的地位和作用、章节的知识结构及结构之间的逻辑关系和联系.

例如，直线的参数方程是选修4-4中第二讲“参数方程”中的第三部分，继函数、直角坐标系、向量、圆锥曲线之后，用函数观点、数形结合的思想研究直线方程的参数表达形式，章节结构如图1所示.

图1 课程内容及结构

2.预评估

预评估是在学生学习新内容之前教师对学生已有知识背景的评估.具备不同先期知识的学生会采用截然不同的加工策略.Kieser等的研究表明预评估可以指导学生取得更好的学习成果.通过测试、交谈、提问等多种方式，我们可以收集学生关于预备知识的掌握情况，并对其缺失的知识或能力进行弥补.在课堂设计中，教师通常采用提问与新知识有联系的前期知识来了解和巩固学生的背景知识.研究发现，大多数学生的学习背景知识是模糊的、分散的、无条理的，这意味着他们不擅长将所学知识用特定的结构联系起来.

3.营造积极的学习文化（氛围）

虽然针对课堂授课起作用的只有非常有限的情绪状态，但教师还是可以通过预评估阶段为学生搭建适当的脚手架，增进学生的学习信心和安全感.安全感能让大脑集中于未来进一步学习的新信息，激发有活力、轻松但敏感的求知欲，从而达到理想学习状态.

4.预备与激活先期知识

从认知学的角度，学习就是将习得的新知识联结到学生个体的神经网状结构上.每位学生都有自己特有的图式和背景知识，如何接入新知识与学生现有背景知识的联系，教师需要采用多种方法预备和激活先期知识.如果新知识与先期知识相容，那么采用“同化”的方式使得学习迅速而有效；但如果新知识与先期知识有相悖之处，则需要采用“顺应”的方法调整学生已有网络结构，即是说，在学习中新方法和持续不断的反馈及修正是必要的.例如，直线的倾斜角定义及取值范围、直角坐标系中直线方程的点斜式、参数的意义、共线向量的概念、三角函数的定义、同角三角函数的平方关系和商数关系、辅助角公式、圆锥曲线的参数方程等都是与直线的参数方程相容的、有联结的先期知识；椭圆和双曲线参数方程中的旋转角与直线参数方程中的倾斜角、抛物线参数方程中的参数t与直线参数方程中的参数t则需用“顺应”的学习方式.

5.获取新知识

围绕新知识与先期知识的联结点，思考如何通过直线的普通方程建立直线的参数方程？学生若对此问题感到迷惑，教师则需搭建脚手架问题：选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标（x，y）与点M0的坐标（x0，y0）和倾斜角α联系起来？以便学生明确问题的本质.待学生充分讨论后自由发言.

思路一：由直线l的普通方程y-y0=tanα（x-x0），得

思路二：直线M0M的斜率与tanα相等，即转化为思路一.

6.深度加工知识

（1）参数方程的标准形式的特征分析.

如上所述，经过点M0（x0，y0），倾斜角为的直线l的参数方程是：

这个方程组一般称为直线参数方程的标准形式，它具有如下特征：

10（x，y）是直线l上任意一点的坐标；

20（x0，y0）是直线l所经过的定点M0的坐标；

30倾斜角α满足：

1）sin2α+cos2α=1；

2）α∈［0，π），sinα∈［0，1），cosα∈（-1，1］.

例1写出经过点M0（1，2）且倾斜角为的直线l的参数方程.

解：根据直线参数方程的定义，得

例2已知直线l的参数方程为（t为参数，试写出直线l的倾斜角.

解：直线l的参数方程可化为（t为参数），故直线l的倾斜角为

（2）参数t的几何含义.

上述两种思路中参数t的引入方式不同，教师需要引导学生沟通引入方式之间的内在关联，寻找本质相同的参数意义.在思路一中，需要教师引导学生使用数形结合思想，画出图像，以直观观察和的意义；还要特别注意x-x0与y-y0的符号对参数t的影响.

例3设直线l的参数方程为（t 为参数），求出直线l的倾斜角，并指出t的几何意义.

解：因为sinα＞0，所以直线l的参数方程的标准形

对例3的理解学生会感到困难，只有注意到sinα＞0，才能实施正确变形，而且涉及对参数t的几何意义的深刻理解.

7.评价学生的学习

认知心理学的研究表明，对初次接触的复杂事物，大脑只能产生粗略的、非常不准确的表征，学习者在第一时间难以完成复杂学习，因此没有反馈几乎是不可能学会抽象的复杂的认知.数据普遍证实反馈极大地促进了考核成绩的提高和直接迁移成绩的提升（McCarthy，1995）.反馈也是优质课堂活动的组成部分，作业和一段时间后的测试是反馈的重要方法，是对课堂实时反馈的重要补充.

反馈思考：经过点P（1，2）作直线l，交椭圆于A、B两点.若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的斜率.

解：设过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，整理得（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0.（*）

因为点P在椭圆内，（*）必有两根，设为t1，t2，

由t的几何意义知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，且t1+t2=0.

所以2cosα+sinα=0.所以直线l的斜率为tanα=-2.

如上所述，当学生试做例3、反馈思考题和做作业时，他们能够看到、听到、体验到自己、同学及教师所做同样事情的不同结果，能接纳公平的反馈进行自我对照和自我修正，这不仅使他们能够进行深层次的理解学习，而且能使他们体会到数学思想方法，如数与形的结合、运动与变化、相对与绝对、分解与综合等的突出作用，培养思考和分析问题的方法及辩证唯物主义观点.