核心素养视角下的初中数学复习课教学设计

黄悦军

摘 要：培养学生发展核心素养是推进课程改革深化的关键环节.复习课是初中数学教学重要的组成部分，如何让数学核心素养在复习课堂上得以实实在在地落地，是值得广大数学工作者深入研究和探讨的课题.本文以一节复习课的教学设计为例，阐述在教学中如何提升学生的数学核心素养，并提出核心素养视角下的初中数学复习课教学设计原则.

关键词：数学核心素养;复习课;教学设计

1 教学设计

1.1 内容分析

本节选自北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》复习课第二课时.学生之前已学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.但生活中有关方程的模型并不都是线性的，一元二次方程在现实生活中具有同样的广泛的应用.

一元二次方程的应用是一元二次方程解法的延续和深化，也为学生学习二次函数奠定基础.通过本节课的学习，使学生进一步学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，发展数学抽象、逻辑推理、数据运算和数学模型等核心素养.

1.2 学情分析

从学生的年龄特征看，九年级学生好奇心强、求知欲旺盛.本节复习课内容结合现实问题情境，不仅生动有趣，而且容易激发学生的兴趣和探究欲望.

从学生的学习基础看，通过前阶段学习，学生已掌握利用方程解决实际问题的方法，也掌握了一元二次方程的解法，初步学习了用一元二次方程解决应用题，具备了一定的分析、综合、归纳、类比能力，在此基础上，本节课将通过设置不同的问题情境，让学生解决三类问题.

1.3 教学目标设计

（1）能在熟悉的情境中抽象出数学问题，通过观察和分析，用数学语言准确表达各个量之间的关系，进而建立数学模型，培养学生的数学抽象，逻辑推理以及数学建模核心素养.

（2）能在观察分析所列方程的结构的基础上，通过动手实践，类比探究，选择合理的解方程方法，培养学生的数据分析素养和数学运算素养.

（3）以问题情境为研究对象，通过对图形和数据的观察、分析、探究、类比，归纳出解决几何类、销售类和增长率问题的通法，进而加强对三类问题的认识，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养.

（4）通过将问题情境转化为方程问题、领悟方程思想、数形结合思想，初步感悟函数思想，进而解决问题的经历，让学生体会数学建模的过程和处理方式.能通过动手实践、合作交流、批判质疑、合情推理等过程，运用建模的结论解释实际问题，培养合作意识，体会数学的应用价值.

1.4 教学重点与难点

教学重点：三类问题及其变式的解决.

教学难点：几何类问题的解决;增长率模型的建立.

1.5 教法与学法设计

1.5.1 教法设计

本节课主要采用启发法和师生谈话法进行教学.

设计意图 考虑到学生数学抽象和数学建模的水平有限，因而教师设置针对性的问题情境，采用“知识梳理——问题探究——变式训练——新知生成——课外提升”为主线的课堂教学方式，通过“问题链”的层层深入组织教学.学生在探究出现困难时，教师要及时提出富有针对性、启发性的问题引导学生进行审题和深入思考，必要时借助几何画板辅助教学.通过学生动手操作和教师演示，引导学生将观察到的现象用数学语言加以表达.此外，教师还需及时关注学生探究的进展情况并给予指导和评价鼓励，此过程宜采用师生谈话来进行.

1.5.2 学法设计

本节课的学法主要由动手实践，自主探究与合作学习相结合的方式.

设计意图 三类问题的解决需要学生通过观察、操作等方式进行探索，其中几何类问题的解决可进一步通过几何画板动态演示提出猜想.本节课让学生在经历自主探索和合作交流的过程中，积累数学基本活动经验，产生积极的数学情感体验，提升数学思维的深刻性.

1.6 教学过程设计

1.6.1 梳理知识，优化结构

为了加强学生对本章知识的理解，教师在课前让学生自主对本章知识进行梳理，并引导学生用思维导图的形式加以呈现.同时，引导学生在本环节中，加强对本章知识的理解，并整理出自己尚未掌握的知识和技能，便于课堂交流.

上课第一环节，教师让部分有代表性的学生在课上展示，让学生主动暴露个体知识体系的缺漏，其他同学结合自己绘制的思维导图对其提出改进意见，集思广益，弥补学生知识的缺漏和思维的不足，有助于全体学生多种角度的看待问题，形成对知识的深层次理解，完善知识体系，优化数学认知结构，有效地激活学生的数学思维，为后面环节知识的运用与迁移做好铺垫.

1.6.2 活动探究，解决问题

问题1 一个矩形周长为56厘米.

（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？

（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由.

问题2 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件;如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

问题3 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，求该种商品每次降价的百分率.

设计意图 学生通过对三个典型问题的剖析和探究，感悟一元二次方程三类应用题的问题表征，培养学生收集、分析和加工信息的能力.学生经历自主探究，观察分析，发现可以利用一元二次方程来解决问题，获得初步的数学建模体验.在探究过程中，学生通过讨论和修正，用准确的文字語言和数学符号语言建立相应的数学模型.教师在此过程进行巡视，提问和个别指导，引导学生用精炼、概括的数学语言充分地描述问题，培养学生运用数学语言表达世界.整个探究过程，既有模型建构又有数学运算，既有独立思考又有合作交流，充分发挥了学生的主体性.

问题1背景较为简单，低起点，多层次.以此情境引入，能面向大多数学生，让更多学生参与到复习中来.对于建模过程中出现的错误，教师应引导学生通过画图进行分析.第（2）小问将矩形的存在性问题转化为一元二次方程的根的存在性问题，在问题解决过程中，让学生感悟数形结合的思想.

学生通过自主探究找出问题2中的关键等量关系“单个利润×销售总数=总利润”，借助表格将问题中的各数据间的关系更为清楚地表达.在使用不同假设未知量的方法上，应让学生通过合作交流，比较其差异，体会方法的灵活性与统一性.两种情况列表和方程如下：

经过新课的学习和知识梳理环节，学生已基本掌握增长（减少）率模型a（1±x）n=b，可较为轻松地解决问题3.在用直接开平方法解方程400（1-x）2=324时，存在两种运算程序：一是计算324÷400=0.81，求0.81的平方根;另一种是将324400约分为81100，利用ab=ab a≥0，b>0进行求解.教学过程中教师应引导学生通过动手实践，比较两种运算程序的差异，让学生归纳总结解此类方程的较为合理的运算方法.

1.6.3 变式训练，巩固拓展

变式1 如图1，一次函数的图象y=-2x+3交x轴与点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B点重合），过点P分别作作OA和OB的垂线，垂足为C，D.

（1）是否存在点P，使得矩形OCPD的面积为1？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由？

（2）是否存在点P，使得矩形OCPD的面积为2？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由？

（3）根据（1）和（2），你还可以提出哪些问题？

变式2 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件;如果每件商品的售价每上涨2元，则每个月少卖1件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是3600元？你还可以提出哪些问题？

变式3 ①“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果，预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台，设平均每年的出口增长率为x，可列方程为

②某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同.设2，3月份利润的月增长率为x，可列方程为

设计意图 本环节采取学生自主探究和交流讨论的形式.学生在第二环节已初步感知三类应用题的问题表征，本环节将通过对问题变式的处理，加深学生对三类问题表征的理解，加深学生对数学建模思想的理解，进一步熟悉运用数学建模解决实际问题的方法，领悟三类问题背后的本质.学生能根据问题表征，选择恰当的模型，尝试借助图形和表格的方法来描述各数量之间的关系，建模并列出方程求解，并且能够把所得的结果回归到现实问题，体验用方程解决实际问题的方法.教师通过提出“问题链”，引导学生进行深入思考，发现各数量之间的变化规律，为本节复习课新知的生成做铺垫.

变式1由问题1的平面几何背景换成解析几何背景，需结合一次函数相关知识进行解答，此时矩形OCPD的面积需用含未知量的关系式来表示，这要求依据点P的轨迹来假设点P的坐标.为引导学生在（3）中提出问题，在學生解答（1）（2）后，教师可提问“矩形OCPD的面积是否能为10？是否能为20？”，引导学生动手操作，通过数学运算和对比分析，再利用几何画板，移动点P的位置，让学生观察矩形OCPD的面积的变化情况进而提出猜想.当观察到矩形OCPD的面积可能存在最大值，教师可依据学生实际情况，引导学生探究，求出最值（也可作为课后探究作业）.

对于变式2，若假设涨价为未知量，该问题有两种处理方式.除了要求学生理解两种列方程形式在数学思想方法上的区别外，应让学生通过解方程，体验由方程形式的不同而带来的计算程序上的差异，使学生在后续关联的问题情境中，能合理地确定运算对象和运算方法解决问题.“你还可以提出哪些问题？”是对“售价是多少元时，每个月的利润刚好是3600元”问法的延续和拓展.在学生提出问题后，教师引导学生动手操作，通过数学运算，对比分析，体会售价与利润之间的变化规律，当观察到每个月的利润可能存在最大值时，教师可依据学生实际情况，引导学生探究，借鉴变式1中的处理方式，求出最值（也可作为课后探究作业）.学生通过归纳类比，发现变式1中点P的坐标与矩形OCPD的面积之间的关系和变式2中商品售价与每月利润之间关系存在相同的变化情况，初步感悟了二次函数自变量与因变量之间的关系，为后续学习二次函数图象及二次函数应用打下基础.

变式3考查增长率模型的应用和学生分析信息的能力.问题①是2017年贵州中考题，问题②是2016年辽宁中考题.

1.6.4 归纳小结 形成新知

课堂小结时，教师可提出下列问题引导学生回忆本节课所学知识：

（1）通过本节课学习，你掌握了哪些方法？

（2）本节课探究过程中，涉及到哪些数学思想？

（3）你还有哪些新的发现和收获？

设计意图 通过小组交流和相互补充，学生总结出用表格法、图形法和基本模型来探究一元二次方程应用题的方法，进一步感悟数学建模思想、数形结合思想和转化思想.在讨论互动中，再现本节课的知识体系，梳理整个过程中体现的思想方法，再次优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，充分认识到数学问题背后的本质，加深对知识间内在联系的理解和认知.教师可提供思维导图的范例供学生参考（如图2）.提问“你还有哪些新的发现和收获？”不仅可以将学生的收获延伸到过程与方法、情感态度与价值观等方面，而且有利于提高学生的自我评价能力，发展学生的数学核心素养.

1.6.5 布置作业 课外延伸

作业：略

设计意图 作业分为巩固作业和课外探究两种形式.巩固作业用于检测学生的本节复习学习效果，而课外探究采用开放性问题，供学有余力的学生课后研究，有利于开拓学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，培养学生应用意识，也体现了分层教学要求.

2 基于核心素养的初中数学复习课教学设计原则

2.1 注重问题情境设置的合理性与层次性

数学教育的任务就是培养学生能用与数学相关的知识技能、思维方式、探究技能以及态度和价值观等去解决现实生活中的问题，能用数学的眼光去观察生活，思考生活中的问题.因此务必重视问题情境与生活的联系，结合学生的最近发展区，才能激发学生的学习兴趣，使学生树立信心，产生积极思考.

复习课教学设计要面向全体学生，让每个学生在核心素养上有所发展.因此问题情境设置应难度小，起点低，螺旋式上升.如本节课的问题情境和问题变式，均选自教材，教材习题变式和各省市的中考真题，在设置上均有一定代表性.“问题链”层层深入，让大部分学生通过自主探究和合作交流能够“跳一跳，够得着”.

2.2 注重问题处理方法的通性与针对性

初中数学涉及方程的内容，主要包括方程的概念，方程的解和方程的应用三个方面.初中阶段方程的应用问题，不同类型的问题处理方法虽有不同，但有通性通法.如在本节课需用画图分析解决几何类问题，用列表分析解决销售类问题，用增长率模型解决增长率问题.销售类问题在结构上有一定共性：给定一个具体盈利情况作为参考，在此基础上进行涨价或降价.以上这些问题的辨识和结构特征的发现，需要学生经历多次完整的数学建模过程，积累利用数学建模解决问题的经验，运用数学语言和方法解决问题，通过合作交流、类比归纳，得出通法，发展数学建模素养.

此外，由不同问题情境列出的方程在结构上存在一定共性（如问题3），这就要求学生在观察分析和动手实践后，针对不同的结构的方程能选择合理的运算程序和解法，使数学运算素养得到提升.

2.3 注重知识结构的整体性和拓展性

复习课的基本任务就是通过系统地梳理知识，加强知识联系的丰富性和顺畅性，进而加强知识理解的准确性和深刻性，形成良好的数学认知结构，通过对问题的解决，提高综合运用知识解决问题的能力.初中数学方程类单元复习课通常需两个课时，第一课时内容为方程的概念与解法，第二课时内容为方程的应用.教师应引导学生将本章知识进行梳理，优化认知结构，并给出建议或参考.学生在理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系过程中，逐步完善网状的知识结构，发展逻辑推理素养.

复习课的一项重要任务是促进学生新知生成.方程与函数存在紧密联系.学生通过动手实践、观察分析、类比归纳，初步感知二次函数自变量与因变量之间的关系，教师还利用几何画板辅助教学和开放式问题设计，引导发现最值问题.开放式的编题和解答不受牵制，更有利于学生独立思考和自主探究.通过说题，培养学生把自己的想法用精炼、概括的数学语言充分地表达出来，培养学生运用数学语言表达现实世界，用数学的思维分析现实世界的意识.

2.4 注重数学思想方法的滲透

数学思想方法是对数学知识的本质认识.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总体目标中增加了“数学基本思想方法”，进一步凸显了数学思想方法的重要性.在方程类复习课上，教师可以设计不同层次的问题，引导学生进行比较、分类、综合、归纳，领悟数学知识中蕴含的数学思想方法，进而把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力.

例如在本节课中，学生通过对问题和问题变式的解决，体会数形结合的思想和方程思想.在知识结构梳理环节，教师引导学生发现和领悟方程解法的生成过程涉及的数学思想方法（如图3）.  参考文献：

[1]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016 （09）： 33-38.

[2]史宁中.学科核心素养的培养与教学—以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（01）：35-37.

（收稿日期：2019-07-17）