立足概念教学 培养核心素养

朱庆斌

[摘   要]高中数学核心素养涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六个维度内容.为将其渗透于高中数学概念教学之中，需要教师做好教学研究，找到各维度内容与数学概念教学的契合点，寻找有效的教学方法与手段.

[关键词]核心素养;概念教学;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0027-02

众所周知，高中数学涉及很多概念，如集合、映射、函数、向量等，是学生学习的基础.在高中数学概念教学中，注重数学核心素养的培养，是新课改的重要方向，也是一线教师热议的话题.教师需要加强核心素养理论的学习，将概念教学与核心素养培养有机融合，使学生在牢固记忆、深入理解数学概念的同时，有效提升核心素养.

一、数学抽象能力的培养

数学抽象是获取、研究、应用数学知识最为基础的一环.在高中数学概念教学中，教师应注重传授有关数学抽象的内容，使学生认识到数学抽象的重要性，了解数学概念的获得过程，为以后数学知识的学习及应用奠定基础.

例如，集合是高中数学最为基本的概念，教材中给出的定义为：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，而集合中的每个对象叫作集合的元素.集合概念较为简单，其描述体现了数学抽象思想.另外，集合还具备确定性、互异性、无序性等特征，这是正确应用集合概念的前提.为加深学生对集合概念的理解，培养学生的数学抽象能力，教师可立足集合概念，创设相关的问题情境，引导学生进行问题解答.

[例1]已知集合[M=（x，y）x2+y2≤1]，若存在实数[λ]、[μ]满足：对任意的（x，y）∈M，都有（[λ]x，[μ]y）∈ M，则称（[λ]，[μ]）为集合M的“和谐实数对”，则下列集合中，存在“和谐实数对”的是（      ）.

A. [（λ，μ）λ+μ=4]           B. [（λ，μ）λ2+μ2=4]

C. [（λ，μ）λ2-4μ=4]        D. [（λ，μ）λ2-μ2=4]

分析：该题以集合为背景命题，题目情境较为新颖，有助于学生抽象能力的提升.依据题干条件可知，满足题干的所有有序实数对（[λ]，[μ]）所构成的集合为[（λ，μ）-1≤λ≤1，-1≤μ≤1].将其看作点的集合，其为中心在原点，以（-1，1）、（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）为顶点的正方形以及内部.认真观察各选项，可知A、B、D分别表示直线、圆、双曲线，和该正方形的内部没有公共点，而C为抛物线，存在公共点（0，-1），因此，正确答案为C.

二、逻辑推理能力的培养

逻辑推理是学习数学的基本能力，是从一些事实与命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程.在解答高中数学试题的过程中，包含着复杂的推理过程，而这些推理的基础，正是基于对高中数学概念的准确理解.因此，为培养学生的逻辑推理能力，需重视高中数学概念的讲解.学生只有吃透概念，才能保证推理的合理性和严谨性.

例如，导数是高中数学的重要概念，不仅在测试中经常考查，而且它也是联系高等数学的纽带，其重要性不言而喻.“导数”这一概念较为抽象，教学实践中，教师不仅要让学生牢固记忆相关函数的导数，更要做好“导数”这一概念的解释，使学生搞清楚导数的含义，明白可导成立的条件，使其知其然更知其所以然，如此才能灵活应用，合理推理，解答相关问题.

[例2]设函数y = f （x）在区间（a，b）上的导函数为[f ′（x）] . [f ′]（x）在区间（a，b）上的导函数为[f ″]（x），若区间（a，b）上[f ″（x）>0]，则称函数f （x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f （x）= [120] x5-[112] mx4-2x2在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（      ）.

A. [-∞，319]B. [319，5]C.（-∞，-3） D.（-∞，5）

分析：该题是导数的延伸，研究的是导数的导数，因此，需要学生深入理解导数概念，准确理解题意，进行严谨推理，才能正确作答.由题干不难得出，[f ′]（x）=[14]x4-[13]mx3-4x，则[f ″]（x）=x3-mx2-4，要满足f （x）在给定的区间为“凹函数”，只需[f ″]（x）=x3-mx2-4 ≥ 0在（1，3）上恒成立，进行变形得只需满足m ≤ x-[4x2]，又因为在（1，3）上[x-4x2]单调递增，[x-4x2>-3]，因此，m ≤-3，正确答案为C.

三、数学建模能力的培养

数学建模是对现实问题进行抽象，运用数学语言表达，借助数学知识求解现实问题的过程.高中数学有很多模型，如函数模型、数列模型、不等式模型等.数学建模对学生分析、抽象能力要求较高，因此，教学实践中，教师应做好数学概念的讲解，使学生夯实基础知识，同时详细讲解数学建模的步骤以及注意事项，以保证建模的正确性.而在结果的取舍上，应符合现实情况.

例如，数列是高中数学的重要知识，它包括等差数列、等比数列，对应等差数列模型、等比数列模型.教学实践中，教师应认真讲解等差、等比数列概念，以及两种数列的区别，明确等差、等比数列成立的限制条件，结合实际情况，构建对应的数列模型，更好地培養学生的数学建模能力.

[例3]某地投入资金支持生态环境建设，促进旅游业发展.本年度投入800万元，以后每年的投入较上年少[15].本年度当地旅游业估计收入400万元，由于增加投入，预计今后旅游业收入将比上年增加[14].设n年内（本年度为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元.问：至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？

分析：根据题意，回顾所学的数列知识，可知需要构建等比数列模型.题目问的是“总投入”，因此，需要应用等比数列求和公式进行求和.

投入资金是以800为首项，公比为[1-15]的等比数列.则构建的等比数列模型为：[an=8001-15n-1].同理，旅游收入是以400为首项，以[1+14]为公比的等比数列，则构建的等比数列模型为：[bn=4001+14n-1]，

则投入的总资金Sn=800+[8001-15]+…+[8001-15n-1][=4000-400045n]，

则旅游总收入[Tn=400+4001+14+…+4001+14n-1][=160054n-1600]，要想满足题意，则Tn-Sn [>] 0，即[160054n]-1600-[4000+400045n] [>] 0，化简得：[254n]+[545n]-7 [>] 0，令[54n] = x，代入得5x2-7x+2 [>] 0，解得[x<25]或[x>1]（舍去），即[54n][<25]，则n ≥ 5.表明至少需经过五年，旅游总收入才能超过总投入.

四、直观想象能力的培养

直观想象指借助几何直观与空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解与解决数学问题的过程.从直观想象的概念不难看出，其与图形密切相关.当然图形包括平面与立体两个方面.学生对平面图形较为熟悉，在初中就有所学习.而有关立体图形，学生接触较少.高中数学中，立体几何是学习的重要内容.借助立体几何，培养学生的直观想象能力是有效的教学途径.立体几何中涉及很多概念，如棱柱、棱锥、球以及异面直线、二面角等，教师应做好这些基础概念的讲解，使学生在头脑中想象出几何体的形状，并通过一些问题的解决，更好地培养直观想象能力.

例如，在解答立体几何相关问题时，时常会遇到不同几何体相组合的题目，对学生的直观想象能力要求较高，因此，教学实践中，教师应注重相关例题的讲解，使学生根据所学的几何体概念，准确定位几何体位置，寻找解题的突破口.

[例4]如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为[3]，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和为（       ）.

A. [56π] B. [23π] C. [π] D. [76π]

分析：该题涉及正方体、球、弧等相关概念.这些概念不难理解，但是要想正确解答出该题目，对学生的想象能力提出了不小的挑战.分析可知，球和正方体的两个面均相交，可将得到的交线分为两类.一类是顶点A所在的三个面上，即面AA1D1D、面ABCD、面AA1B1B.另一类是不过顶点A的三个面上，即面A1B1C1D1、面CC1D1D、面BB1C1C.在面AA1B1B上，交线为弧EF且过球心的A的大圆上，可知AE = 2，AA1=[3]，∠AA1E=[π6].同理，∠BAE = [π6]，即∠ EAF= [π6]，因此，弧EF的长为[2×π6=π3]，這样的弧一共有三条.在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距离球心为1的平面上与球面相交的圆上，此时的圆心为B，半径为1，[∠FBG=π2]，因此，弧FG的长为[1×π2=π2]，因此所得曲线长为[π3+π2=56π]，正确答案为A.

高中数学概念较多，牢记、深刻理解概念，是学习的基础，对学生各项能力的提升意义重大.教学实践中，教师应引导学生回顾教材，牢固掌握各章节概念，找到概念间的内在联系，构建完善的知识网络.另外，做好高中数学核心素养的内容研究，深刻把握其内涵，在概念教学中注重核心素养内容的融入，尤其是依托相关例题的讲解，加深学生对数学概念的理解与认识，促进学生数学核心素养的进一步提升.

[  参   考   文   献  ]

[1]  俞凯.核心素养理念下的高中数学教学策略[J].名师在线，2019（5）：31-32.

[2]  沈俊.高中数学核心素养培育：教师应当做好什么准备[J].数学教学通讯，2019（3）：41-42.

[3]  陈凯姬.核心素养背景下高中数学教学中学生思维能力培养再议[J].数学教学通讯，2019（3）：33-34.

[4]  刘志成.高中数学概念教学中核心素养培养策略研究[J].数学学习与研究，2018（18）：14.

[5]  从建华，王芳.核心素养下的高中数学概念教学[J].数学学习与研究，2018（5）：71.

[6]  闫彩平.核心素养关照下的高中数学概念教学新探[J].教育观察，2018（4）：118-119+121.

[7]  吴洪生.基于核心素养的高中数学概念教学案例分析[J].中学数学，2017（11）：32-35.

（特约编辑 安   平）