求解“任意”、“存在”问题的策略

2019-09-26 02:48曹吉龙
中学课程辅导·教学研究 2019年26期
关键词:偶函数增函数切线

曹吉龙

“任意”、“存在”问题是近几年模拟题及高考题的热点、重点。好多考生对于如何处理这类问题感到无从下手。现举例介绍这类问题的常见的求解策略及方法。

一、“任意”问题的解法

含有“任意的x∈A,使f(x)≥g(x)成立或f(x)≤g(x)成立”这类问题可转化为最值问题或分离参数后转化为最值问题来求解。

【解】(1)略

(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得 a(x-lnx)≤x2-2x.

∵x∈ [1,]e,lnx≤1≤x,且等号不能同时取得,∴lnx<x,即x-lnx>0

当x∈ [1,]e时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而t′(x)≥0

∴t(x)在区间 [1,]e上单调递增,∴t(x)min=t(1)=-1,∴a≤-1

解题策略:任意的x∈A,使f(x)≥g(x)成立⇔x∈A,使[f(x)-g(x)]min≥0;任意的x∈A,使f(x)≤g(x)成立⇔x∈A,使[f(x)-g(x)]max≤0恒成立。

二、“存在”问题的解法

例2.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:

①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;②f′(x)是偶函数;③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)设g(x)=4lnx-m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围.

解(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

由f′(x)是偶函数得b=0,①

又f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,

∴f′(0)=c=-1,②

(2)由已知得,若存在x∈[1,e],使4lnx-m<x2-1,

即存在x∈[1,e],使m>(4lnx-x2+1)min.

设M(x)=4lnx-x2+1,x∈[1,e],

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又M(1)=0,M(e)=5-e2<0,

∴M(x)的最小值为5-e2.∴m>5-e2.

评注:存在x∈[1,e],使4lnx-m<x2-1⇔存在x∈[1,e],使m>(4lnx-x2+1)min.

解题策略:存在x∈A,使f(x)≥g(x)成立⇔x∈A,使[f(x)-g(x)]max≥0;存在x∈A,使f(x)≤g(x)成立⇔x∈A,使[f(x)-g(x)]min≤0恒成立.

三、含二元或多元的“任意”与“存在”问题的解法

所以当x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.

根据题意可知存在x∈[1,2],

使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即成立,

则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min

解题策略:任意x1∈A存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立⇔x1∈A,x2∈B使f(x1)min≥g(x2)min.

“任意”“存在”问题一直是高考中的热点问题,此类问题涉及到函数与导数、不等式与方程等知识,考查了同学们基本计算能力及转化与化归思想、分类讨论的数学思想以及分析问题解决问题的能力。解决此类问题的方法较多,需具体问题具体分析,虽有难度但有规律可循。为此我们要善于观察、善于归纳,把“任意”、“存在”问题转化为我们熟悉的最值问题,就能取得成功。

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