基于问题解决的数学学习*

☉江西省南昌市二十七中学 翁 荔

希腊哲人德谟克立主张，教育力图达到的目标并不是完备的知识，而是充分的理解.物理学家劳厄则进一步指出：“重要的不是获得知识，而是发展思维能力.”问题解决的学习强调以问题为中心，通过解决问题来获得知识、方法和思维.学生解决问题的过程就是思维的建构过程，它是学习范式的一种变革.基于问题解决的数学课堂以探索作为教学的生命线，在探索中理解数学，发现数学，对培养学生的创新意识和思维都有着十分积极的作用.

问题解决学习中最重要的教学支持是问题案例，这些问题案例就像“积木”一样搭建学生完整的知识框架，教师及教学设计者要善于利用不同功能的问题案例帮助学生进行系统的学习.生长型案例的特点是以某一个容易达成的问题为基础，其他问题按螺旋上升的方式展开，后一问题以前一问题为基础，但在程度上比之前更深入，使前面知识不完善之处得到进一步的补充和丰富.下面就自己的实践来谈谈个人对生长型案例的研究，不足之处请大家批评指正.

环节一：独立思考，探求思路

问题1：如图1，在△ABC中，M是AC的中点，N是BM的中点，就称CN是△ABC的“双中线”，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，求CN.

问题2：如图2，M是菱形ABCD的边CD的中点，N是BM的中点，则称AN是菱形ABCD的“双中线”，若AB=4，∠BAD=120°，求AN的长.

问题3：如图3，AN是矩形ABCD的“双中线”，若AB=4，BC=6，求AN的长.

问题4：如图4，AN是平行四边形ABCD的“双中线”，若AB=4，BC=6，∠BAD=120°，求AN的长.

这是一个以“双中线”为背景的生长型案例，按照直角三角形→菱形→矩形→平行四边形这样的顺序进行探究.首先，由学生独立思考，在没有老师和同学的指导下，发现自己真实的困惑.

环节二：小组合作，交流促进

学生在刚才独立思考解决问题的环节中，会遇到许多“阻力”，这些“阻力”使他们在解决问题的时候没有那么通畅.小组成员之间的相互合作，其实是相互意见的一种交换，彼此“互补”，形成了很多不同的解决方法.

问题1：独立思考阶段，大部分学生能完成，但有的学生完成不了，有以下几种情况.（1）从点C向BM作垂线，构造直角三角形，把CN当作斜边求解，但是得不到解题途径.（2）把∠CBA也当作直角，用了两次“斜边中线等于斜边的一半”.（3）使用勾股定理求解BM错误.

问题2：求解问题2，学生想出了很多解法，但是非常遗憾，虽然方法众多，但是他们遇到了同一个“阻碍”，就是证明∠BAM=90°，有的是无法推理，有的是推理错误，下面列举部分解法.

问题3：这一问题，很多小组成功解决了.现列举部分解法.

问题4：同样部分小组解决了这个问题，可以说解法十分巧妙.

环节三：教师整理，完善结构

这一系列问题在图形特征上有相似之处，即都涉及了两条中线.那么，图形上的相似能否带来解法上的相似，类比完成呢？从与学生的交流中发现，他们都有这方面的尝试，但都失败了.为什么呢？归根结底，还是对定理没有全方位的认识.

问题1是整个解决问题中的源问题，其中两条中线的作用，一条是利用中点求出线段一半的长，另一条的作用是和直角三角形结合，利用“直角三角形斜边中线等于斜边一半”来解决问题.问题2对比问题1的条件，两中线依然存在，不同的条件是90°换成了菱形和120°，那么菱形和120°可否转化成90°呢？问题3和问题4能否由之前的解题经验获得一些思路呢？根据学生的完成情况，教师提供了一组解法：

环节四：回顾总结，提升认识

首先肯定学生的“百花齐放”，在解决问题的时候发现了多种解法，有些解法充分体现了学生思维的广阔性和灵活性，这一点，也是大家作为一个学习团体可以互相学习之处.

最后，根据学生的答题情况，引导大家思考如下问题，教师总结.

思考一：这节课大家讨论了三角形和四边形中的“双中线”，结合以前的学习，由“中线”这个关键词你能够想到的解法有哪些？

从学生的答题情况来看，由中点引发的求线段长的一半、构造中位线是学生图示当中能够存在并且容易激活的，但是直角三角形斜边中线，是学生脑海中没有的组块，或者是处于较低的一级水平的组块.通过这节课的学习，学生补充了原有图示，使得图示所表征的内容越来越细致、广泛.教师和学生一起总结形成网络图，（如图5）此图仍需后续学习继续完善.这节课的问题解决还涉及另一项能力的培养，就是识图补图.网络图中有双向箭头，从左到右的箭头是形成解决问题所需要的命题系，从右到左的指向是识图补图的一种参照.

思考二：今天的问题解决中出现了120°，你认为它发挥了什么作用？你觉得像这样能够促进问题解决的特殊角还有哪些？

对于“特殊角”，在学习了勾股定理之后，学生在解题中经常会遇到30°、45°、60°这样的特殊角，但对120°、135°、150°这三个钝角并不是很熟悉，这三个角其实是60°、45°、30°角的补角，可以转化成这三个特殊角.同时，120°=30°+90°，135°=45°+90°，150°=60°+90°，这也是这三个钝角能够在直角三角形中发挥作用的关键.另外，学生也想到22.5°、15°分别是45°、30°的一半，也是特殊角.

思考三：在问题4的解决中，两组学生用了简单巧妙的方法，想想看，如果把问题4中的边长由6换成8，还能用此方法吗？在教师提供的解法中，问题1、2、3都用了直角三角形斜边中线解决，问题4没用，是哪些条件不满足导致的？

学生的解法其实是针对特殊问题的特殊解法，并不通用，要让学生意识到这一点.教师的解法没用斜边中线，而是另辟蹊径，原因是斜边中线和直角很难同时存在，这一问题的解决加强了学生对定理运用的灵活性.

理解数学知识、提高思维能力、学会思考问题，是数学教学的核心目标.这就要求教师把这三者融入到教学中，使学生成为善于认识问题和解决问题的人.这节课是围绕“双中线”展开的一节中考复习课，问题从简单的图形开始，逐步深入.主要目的是加强所学知识的深度和广度，力图达到多角度理解知识，多方位联系概念.

教学的目的不是让学生强记解法，也不是大搞题海战术，要让学生把具体的知识忘掉以后，头脑中还能剩下数学的东西，就需要教师的精心设计与有针对性的深化，这无疑为问题解决的教学提供了一个很好的模式.