“四个理解”指导下的教学设计新思路——以“位似”教学设计为例

（浙江省台州市黄岩区教育局教研室）

尽管“互联网+教育”还处于探索阶段，但发展趋势已经非常明显，人机共教的时代即将到来，传统的课堂模式和教学方式都需要重新定义、重新思考.章建跃博士提出的“四个理解”，即理解数学、理解学生、理解技术、理解教学，是提高教师专业化发展水平、提高数学教学质量、应对互联网时代教育变革的根本保证.

笔者有幸参加了章建跃博士领衔的“中小学数学在线学习资源的研究与开发”课题研究，课题组围绕“目标导向的精准教学”对教学设计进行了新的思考，提出的教学设计框架包括内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计和分层作业设计七个方面，并对每个方面做了具体、规范的要求，使之比已有的教学设计案例更加完整、准确、简洁、实用，更有利于实现线上与线下教育的优势互补.现以人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册“27.3位似（2）”一课为例，对教学设计的撰写谈一点心得体会.

一、素养立意，深化内容解析

对课堂教学具有定向作用的课时目标的设计要有可操作性和可检测性.设置课时目标的基础是对内容的准确理解，进而做出体现内容本质的教学解析.为此要探寻内容解析的新思路，包括内容的结构，地位和作用，内容的本质，蕴涵的数学思想和方法，育人价值，等等.

内容解析是在知识图谱的指导下，围绕当前内容，从数学上进行微观分析.内容解析的基本格式是：（1）在“教学内容及其解析”前面添加课时知识结构图，统领内容解析的叙述；（2）以知识点的形式列出教学内容；（3）阐述当前内容在整个中学数学，在本章、本节中的地位作用，在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，阐释知识内容所蕴涵的数学思想方法，最后阐明本节课的教学重点.

以“27.3位似（2）”一课为例，设计出如图1所示的课时内容结构图.

图1

其内容和内容解析如下.

（1）内容.

以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标关系.

（2）内容解析.

地位和作用：用坐标表示图形的变化是几何变换学习的重要内容，是对变换的性质（对应点与变换基本要素之间的关系）以坐标的形式加以体现.本节课延续以往学习轴对称、平移、旋转（中心对称）等图形变化的一般思路，在学习位似的概念与性质后，自然引出在平面直角坐标系中如何用坐标刻画位似变换的问题.通过对位似变换下对应点坐标关系的探究，完善相似对位似变换的认识，使直观的图形变化有精准的数量描述.

概念的解析：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么原图形中的点(x,y) 经位似变换后的对应点的坐标为(kx,ky) 或(-kx,-ky) .其中，当得到的位似图形与原图形在位似中心（原点）同侧时，新、旧图形上对应点的坐标比为k；当得到的位似图形与原图形在位似中心（原点）两侧时，新、旧图形上对应点的坐标比为-k.这个结论揭示了对应点坐标与位似变换的关键要素（位似中心，位似比）的关系.

思想方法：用坐标表示位似体现了数形结合的思想；在研究坐标变化规律时，体现了从特殊到一般的思想方法；在研究两个位似图形坐标之间的关系时，需要考虑位似中心位置的不同，渗透分类讨论思想.

知识类型：以原点为位似中心的位似图形的对应点之间的坐标关系是原理与规则类知识，知识是在操作观察的基础上归纳得到的，既是一般性的认识，又是一种可操作性的知识，可用于计算或画图.

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：以原点为位似中心的位似图形的对应点之间的坐标关系.

内容和内容解析是后面各个环节的基础.实践表明，有些教学设计的课堂教学效果不理想的主要原因是教师对内容把握不准，内容解析不到位.编写这部分内容时，要认真思考教学内容所反映的数学思想方法，认真钻研教材，领会教材的编写意图.

在这里，课时内容结构图是核心所在.简洁的课时内容结构图，能揭示本课时知识的来龙去脉，以及知识联系中体现的数学思想，是本节课知识的逻辑结构、学习流程和学习逻辑，以及思想方法与内容的关系的整合体现.很多情况下，课时知识结构图能清晰体现本节课的内容及其之间的关联，明确教学思路.

二、基于测评，优化教学结构

精准教学是以目标为导向，通过测评准确把握学生的学习状况，并据此调整教学进程，使教学的预设和生成相辅相成.因此，测评的功效在于优化教学过程，提高教学效益.而即时检测（形成性评价）使教学更加精准有效，能够做到预设与生成的有机结合.

进行教学设计时，应依据知识图谱制定可评可测的教学目标，要将技术作为认知工具融合到学习与教学的过程中，做好课前检测与教学过程中针对目标达成状况的测评，并根据检测情况及时调整教学节奏，切实有效地改进学生的学习方式和教师的教学方式.

以“27.3位似（2）”一课的课前检测设计为例进行如下说明.

从知识关联与经验基础的角度来看，本节课的教学内容是以原点为位似中心的位似图形的对应点之间的坐标关系.学习本节内容的前置条件是学生对位似的概念有一定的了解，能辨认位似，能按要求作出简单的位似图形，同时对用坐标表示基本的几何变换（如平移、轴对称等）有一些经验与体会，为此我们设计如下的课前检测.

1.如图2所示的4组图形中，具有位似关系的有_________.（填入相应的序号.）

图2

【设计意图】此题考查学生是否了解位似的概念，能辨析两个图形之间是否成位似关系，同时题目设计中包含位似中心在两个图形之间与外部的不同情形，隐含位似有内外之分，也为后续的分类讨论埋下伏笔.

2.如图3，在8×8的网格中，△OAB的顶点都在格点上，试在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以点O为位似中心，你所画图形与△OAB的位似比是多少？

图3

【设计意图】此题考查学生能否在给定位似中心的情况下画出已知图形的位似图形，理解所画图形与原图形的位似比的概念，并能正确计算.

3.在平面直角坐标系中，线段AB的顶点A，B的坐标分别是A(-2,1),B(2,3), 现将线段AB平移，得到线段A′B′，若点A′的坐标为A′(4,4),则点B′的坐标是______.

【设计意图】此题考查学生对用坐标表示平移的规律的掌握情况，同时也唤起其用数（坐标）刻画几何变换的记忆，为接下来的学习做心理上的准备.

课前检测的定位是对学生学习本节课必备的知识掌握情况进行测评，目的是使所有学生都能顺利进入本课时内容的学习.对于必备知识有所缺失的学生可以提前进行弥补，以便适应新课的学习.

“27.3位似（2）”一课的课堂目标检测设计如下.

本节课的教学目标：（1）会在平面直角坐标系中用两个图形的坐标之间的关系表示位似；（2）在探究用坐标表示位似的过程中体会数形结合与分类讨论的数学思想.

达成目标（1）的标志：给出图形上的一点，会写出它以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标；能利用位似图形的对应点的坐标之间的关系，画出已知图形以原点为位似中心的位似图形；能根据原图形及其位似图形之间的关系求得位似中心的坐标.

达成目标（2）的标志：在确定研究思路时能尝试从特殊到一般的思路进行探究；能考虑位似中心可能存在不同的位置，大胆猜想并进行一般性的归纳.

目标（2）属于过程性目标，教师要在课堂教学过程中根据学生的交流反馈情况做出即时的判断与调整.

对目标（1）设计如下的课堂检测题.

1.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4 ) .以原点O为位似中心，将△ABC缩小，得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边之比为1∶2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？

2.如图4，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是C(-1,0 ) .以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的各边长放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）.

图4

【设计意图】根据统计数据进行分析，如果超过一定比例的学生目标（1）的检测质量不好，说明学生对本节内容没有很好地掌握，则继续进行课前检测的分析与讲解，以巩固本节知识与技能；如果大部分学生都能顺利解答，则进行后面拓展延伸题的探索，以深化认识，提升能力.对个别存在问题的学生用点对点的方式推送相应的训练资源.

信息技术的发展为因材施教提供了新的手段与思路，也促成了课堂生态的改变.在一个环节教学结束后及时进行测评，以检查相应教学目标的达成情况，这在技术上已经成熟.在利用平板电脑实施教学的实验学校，教师能够快速掌握学生的学习状况并及时调整教学安排，使基于经验的教学逐步走向基于实证的教学.在此，测评就是一种“导航”，有了测评，才能知道教学是否精准有效，才能知道留给学生理解、领悟知识的时间是否充分，留给学生的思考空间是否适当，进而实现教、学、评的一致性.

三、问题导向，关注动态生成

教学过程设计的关键，是教师要设计好引导学生开展自主的、创造性数学活动的问题串.问题是为了激发学生实质性的数学思考，培养学生的创造性，发展学生的理性思维，从而切实落实“四基”.问题串的设计要具有以下特点：一是符合数学知识发生、发展的内在逻辑，注重问题的水到渠成；二是在学生思维的最近发展区内提问，使学生“跳一跳，够得到”；三是要让学生逐渐学会自己提问，从而实现自然而有效的教学，顺利突破教学难点.

“27.3位似（2）”一课的教学难点突破设计如下.

本节课的教学难点是：对以原点为位似中心的位似图形的坐标多种可能的理解.

虽然学生前面已经学习过平移、轴对称、中心对称的坐标表示，但以往这些几何变换都属于全等变换，其坐标的变化规律相对容易直接观察到.而位似变换由于图形的大小发生了变换，坐标的变化规律相对复杂，同时在利用这种关系作位似图形时，学生往往只能作出位似图形的一种情况，而忽略另外一种情况.因此，位似的变化规律对学生思维的全面性与完整性要求较高.

教学中可以采取从特殊到一般、从简单到复杂的研究策略，结合学生的操作实践，从线段的位似到三角形的位似，从顶点在原点、一边在x轴上的三角形的位似变换，到一般位置四边形的位似变换，充分积累数学活动经验，借助直观，在交流与追问中使学生的思维顺利深入.

例1如图5，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0), 以原点O为位似中心，相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

图5

师生活动：先由学生自行探究解答，再组织学生交流.教师根据学生的解答情况引导学生思考，重点关注学生是否能将图形作完整，关注学生能否发现对应点之间坐标的关系，并进行归纳说明.

【设计意图】以原点为位似中心，先从简单的几何图形——线段开始探究，便于学生画图与计算坐标，为后续的进一步探究积累活动经验.

例2如图6，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0), 以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

图6

师生活动：学生先自主探究解答，教师再组织学生交流，关注学生能否作出两种情况的图形，能否发现变换前后图形的对应点坐标之间的关系.在学生能正确解答并发现规律（猜想）后，教师可以利用几何画板软件演示，当相似比不断变化时，利用对应点坐标之间的关系进行验证，通过计算机的模拟实验引导学生归纳出一般化的结论.

结论：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新得到的图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y) 对应的新得到的图形上的点的坐标为(kx,ky) 或(-kx,-ky).

【设计意图】从例1的线段位似到例2的三角形位似，从缩小到放大，丰富了探究的内容.先通过作图，写出对应点的坐标，让学生总结特殊图形发生位似变换后坐标的变化规律，再引导学生总结更一般化的规律，整个探究过程体现了从特殊到一般的认知过程.

例3如图7，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),以原点O为位似中心，画出一个四边形，使它与四边形ABCD的相似比为.

图7

师生活动：学生解答时，可能会有两种思路：一种是先画图，再根据图形写出坐标；另一种是先根据规律确定坐标，再描点画图.对此，教师应当都予以肯定，并指出先形后数要防止误差，先数后形要防止计算错误造成的图形变形.为此，建议吸取两者的优点相互弥补缺陷.同时必须强调是否还可以得到其他图形，注意解答的完整性.

追问1：是否有不同的答案呢？

【设计意图】通过典型例题，巩固位似图形对应点坐标之间的关系，掌握具体的解题技巧（几何法与代数法）及其注意点，让学生切实感受到运用新知解决问题的简捷与准确，进而可以放心大胆地利用公式直接写出结果，帮助学生逐步摆脱直观的依赖.同时此题也进一步提醒学生注意两种情况，避免遗漏.

追问2：如果以点C为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，如何求新四边形四个顶点的坐标？说说你的想法.

【设计意图】追问2中的位似中心不是原点，因此之前得到的坐标规律就不能直接使用了，此时学生的思维便会退回到概念，从概念出发解决问题，即先画图，再看坐标.应当肯定这是很好的思路，也是根本的方法.同时，教师应当鼓励学生思考解题方法的多样性.例如，通过添加辅助线构造相似三角形，再利用相似三角形的性质，把点的坐标的问题转化为线段长的问题.此题中，将四边形ABCD缩小为原来的后，新的顶点分别是AC的中点，BC的中点，DC的中点，以及点C，利用中点公式就可以写出相应顶点坐标，将这些点关于点C进行对称就会得到另外的一组顶点.或者充分利用坐标变换.例如，此题利用点C为坐标原点重新建立直角坐标系，重新写出原四边形的顶点坐标，进而利用本节课学习的坐标变化规律，再利用坐标的平移变换得到结果，等等.

我们可以从两个方面的融合来设计具有内在逻辑的问题串，即数学概念和思想方法的发生、发展过程及学生的数学思维过程两个方面.这里所设计的问题应当注意适切性，要对学生理解数学概念、领悟思想方法有真正的启发作用，达到“跳一跳，够得到”的效果.在每个问题后，要写出设计意图，还要给出师生活动预设，以及这一环节需要重点关注的问题，即需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力等.

四、优质多样，促进自主发展

不同能力层次学生的学习特点不同，对于不同能力水平的学生，教学活动的目标与策略各有侧重.对于学困生，重在让学生“学有所得”，即通过必要的反复，适当强化并落实基础知识与基本技能；对于中等生，重在让学生“学有所成”，即帮助学生从模仿（变式）到独立；对于优等生，重在让学生“学有所乐”，即促进学生从理解（领悟）到创造.

对于学有余力的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，提供进一步研究的机会，实现个性化发展，指导他们阅读，激发与培养他们主动研究的欲望和自学能力，从而发展他们的数学才能.

“27.3位似（2）”一课的拓展延伸设计如下.

在完成规定教学内容的学习，并通过有针对性的目标检测后，可以进行下面的拓展延伸题的探索，以深化认识，提升能力.

拓展延伸：将抛物线y=(x-2)2+1关于原点作位似变换，使得原抛物线与变换后的抛物线的位似比是1∶2，求变换后的抛物线解析式.（只考虑同向变换.）

师生活动：可以先让学生独立思考，再利用几何画板软件将原抛物线上的一些具体点进行位似变换，这样可以直观看到所有点变换过去后都在另一条抛物线上，于是可以确定解题思路，即选择部分特殊点，利用待定系数法求解.此题中，抛物线y=(x-2)2+1的顶点是A(2,1).如图8，位似变换后点A的对应点A′的坐标为A′(4,2),在原抛物线上再取一点B(3,2),则点B的对应点B′的坐标是B′(6,4),利用待定系数法，可求得新抛物线解析式为.

图8

【设计意图】在学生对本节课的内容掌握良好的情况下，可以设计此拓展活动，目的是加深学生对几何变换的理解.不管是平移、轴对称、旋转，还是位似，本质上是将所有点都进行相同的变换后的点集就是变换后的图形.教师可以借助几何画板软件帮助学生理解其中蕴涵的几何思想.在教学中，对于此题中的抛物线平移，教师只是利用几何画板软件让学生直观认识.对于优等生，可以鼓励他们在课外进一步研究，甚至得出一般性的结论.例如，任意两条开口程度不同的抛物线都是可以经过位似变换互相得出的，将抛物线y=a(x-h)2+k,关于原点作位似变换，若变换前后的位似比值是1∶n,则变换后的抛物线解析式是若抛物线y=a(x-h)2+k,位似变换后得到的抛物线是y=b(x-h′)2+k，′则变换前后的位似比是（a，b同号是正向变换，开口方向相同；a，b异号是反向变换，开口方向相反），位似中心是.

五、结论与思考

基于“四个理解”的教学研究虽然还处于探索与验证阶段，但方向与思路已经明确，项目组提出了“素养立意，基于测评；目标导向，精准高效；夯实四基，提升质量”的指导思想，基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》建设知识图谱，在知识图谱的指导下建设系列资源，保证了正确的教学方向，以大数据实现精准诊断与精准干预，降低了师生无效的重复性劳动，使信息技术更好地服务于一线教学.在具体实施时，需要关注以下几点.

1.测评就是一种“导航”

有了测评，才能知道教学是否精准有效，才能知道给学生理解、领悟知识的时间是否充分，给学生的思考空间是否适当.从而改变只顾教师教，不顾学生学，更不顾学生学得怎么样的现状，体现教、学、评的一致性.将信息技术运用于测评，发挥信息技术在改变课堂生态中的作用，切实有效地改进学生的学习方式和教师的教学方式.

2.过程必须紧扣目标

课时教学目标源自知识图谱中的相关条目，课时目标解析指出达成各个目标的路径和标志，这是体现图谱与教学衔接的关节点.教学设计应该从知识点目标出发，设计促进学生“学会”的过程，并给出是否学会的评价.每次评价都要为下一步的教学决策提供依据，问题链的设计要体现教服从于学，要体现“学什么？怎样学？学会什么？”，呈现学习进阶.

3.拓展坚持以生为本

对教材内容的横、纵向拓展可自然衍生出一些富有挑战性的全新问题，有利于开阔学生视野，对学生深刻领悟数学思想、感受数学思维的魅力有很大好处.这里的拓展不一定局限于初中阶段的内容与要求，可以涉及高中甚至大学的有关内容，不应以中考为目的，而应立足于学生的长远发展，唤醒和激励学生思考与探究的欲望，促进学生积极主动的发展.