挖掘问题中的“生长点”，落实核心素养——解题教学中的问题串设计探索

（天津市耀华中学）

学习数学的意义是让学生学会用数学的眼光去观察，从数学的角度去思考，用数学的语言去表达，用数学的方法去解决问题.如何能实现这个目标呢？就是要培养学生的数学核心素养.数学核心素养是个人的数学思维能力，它需要在数学的学习过程中，逐步思考、反思、领悟而形成，而这些都离不开教师的引导.教师给学生“教什么？怎么教？”在很大程度上影响着学生将来具备怎样的数学素养.只有在课堂中多引导学生去思考数学、体验数学，才能使数学核心素养得以有效体现与落实.本文主要围绕中考复习阶段如何打破就题讲题，找到培养核心素养的“生长点”来设计解题教学问题串.

一、挖掘题目条件中的“生长点”

1.从问题背景成立的条件中挖掘，设计问题串

例1将三角形纸片（△ABC）按如图1所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是__________.

图1

教师问题设计和课堂教学片断如下：

问题1：当∠C=∠FB′C，即B′F=FC时，这样的△B′FC能折出来吗？点B′能落在线段AC上吗？

生1：因为△BEF沿EF折叠，得△B′EF.所以BF=B′F.又因为B′F=FC，得BF=FC.所以点F应为BC中点，即B′F=FC=BF=4.

生2：此时点B落在点A处.

生3：不对.此时，BF=4，AF＞BF.所以点B不会落在点A处.

师（追问）：既然AF＞BF，那么点B一定落在哪里？

生4：落在点A和点C之间.

问题2：谁能解释点B′存在的必然性？

生5：因为，所以一定能在边AC上找到一点B′，使B′F=FC=2.

问题3：我们可以用什么工具来确定点B′的位置呢？

生：用圆规，以BC中点F为圆心，FC为半径作弧，与边AC交于点B′.

师：让我们一起用圆规在图2上确定点B′的位置吧！

图2

问题4：是否存在点B′不在△ABC上的情况，这样的等腰三角形ABC形状有什么特点？

同学们再次讨论，并很快得出结论：若∠BAC=90°，此时点B′与点A重合（如图3）；若∠BAC＞90°，此时点B′将落在线段CA的延长线上，这时点B′不在△ABC上（如图4）.

图3

图4

问题5：你能编制一道其他情况的题目并给出解答吗？

学生编制的问题：改为“AB=AC=5，BC=8”，其他条件不变.答案：.

教师在解题教学中要注意抓住出题者问题设计的背景，引导学生思考每种情况成立的条件，帮助学生建立分类讨论的数学思想方法，培养学生的逻辑思维能力，发展数学核心素养.

2.从问题的限制条件中挖掘，设计问题串

例2长为1，宽为的矩形纸片，如图5（1）所示折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图5（2）所示折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；……如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为_______．

图5

教师问题设计和课堂教学片断如下：

问题1：当n=1时，原矩形是什么样的？a的值是多少？当n=2时呢？

学生得出：当n=1时，原矩形由两个正方形组成（如图6），此时.当n=2时，原矩形由三个正方形组成（如图7（1）或图7（2）），此时.

图6

图7

问题2：当n=2和当n=1时的图形有什么联系？

学生经过思考可以得出结论：当n=1时的图形是当n=2时第一步折出一个正方形（图中空白正方形）后的图形的形状（阴影部分），将其平放或竖放，得到两种可能.

问题3：类比当n=2和当n=1时的联系，能得到当n=3和当n=2的联系吗？画出当n=3时的图形，并计算a的值.

学生经过进一步思考，得出：当n=3时，原矩形由4个正方形组成，形状如图8所示，即当n=2时的图形是当n=3时第一步折出一个正方形（图中空白正方形）后的图形的形状（阴影部分），将其平放或竖放，得到4种可能.a的值分别为.

图8

问题4：你能画出当n=4时的原矩形吗？同学之间可以相互讨论.

学生经过前面的规律探索，可以发现：

当n=4时，原矩形由5个正方形组成，形状有8种，如图9所示.

图9

问题5：你能找到n与图形个数y之间的关系式吗？

学生在前面的铺垫下可以很容易得出y=2n-1.

挖掘题目的限制条件，渗透类比、化归的数学思想方法，将设计重点放在从特殊到一般的规律的探索上，符合学生思维由浅入深的习惯，也锻炼了学生思维的严谨性和严密性，达到了培养学生数学逻辑推理素养的目的.

二、挖掘题目问题中的“生长点”

例3如图10，在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-2,0 )，点B(0,2)，点E，F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′.若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值.

图10

教师问题设计和课堂教学片断如下：

问题1：动点E′，F′的运动轨迹是什么？

生：以点O为圆心，OE′长为半径的圆.

问题2：动点P的运动轨迹是什么？

生：AE′⊥BF′一直保持，即∠APB=90°，所以点P应在以AB为直径的圆上运动（如图11）.

图11

问题3：点P的运动轨迹是圆，还是圆的一部分（圆弧）？考虑点P的运动轨迹时，不仅要考虑⊙D，还要考虑点P在直线AE′上，而点E′在⊙O上.点E′是主动点，点P是从动点.

学生经过思考能够得出结论，当AE′与⊙O相切时，点P的位置最高（如图12）.

图12

问题4：点P的纵坐标的最小值是什么？

学生受刚才问题的启发，很快说出也是正方形OEDF与⊙O相切时点P最低，此时点P的纵坐标最小（如图13）.

图13

师：是吗？注意点P在⊙D上运动.

生：不对，点P的最低点应是⊙D上的最低点，相切时的点P不是最低的.

师：大家能分别算一下这两个时刻点P的纵坐标吗？

大家很快求出相切时点P的纵坐标为而点P为⊙D上的最低点时，点P的纵坐标为，所以点P的纵坐标的最小值应为

最后，大家得出结论，图14应该是点P在⊙D上运动的最低位置，而图13应该是点P在⊙D上运动的最终位置，点P的运动轨迹是两个相切位置之间的圆弧.

图14

在复杂的几何图形中抽象出基本图形，把握点、直线等之间的关系，直观想象图形的运动变化，是数学课要培养的核心素养.通过对例3的延伸思考，进一步锻炼了学生的直观想象能力.

三、挖掘题目解法中的“生长点”

例4如图15，Rt△AOB的两直角边OB，OA分别位于x轴、y轴上，OA=6，OB=8.将△AOB折叠，点O落在△AOB内的点C处，OD=2，折痕为AD，AD与OC交于点E，求点C的横坐标.

图15

教师问题设计和课堂教学片断如下：

问题1：已知点O折叠后落在点C，折痕为AD，即点O和点C关于AD对称，这时有哪些基本性质？

生：AD垂直平分线段OC，即AD⊥OC，OE=CE.

问题2：求点C的横坐标，通常可以作哪些辅助线？

生：过点C作x轴的垂线（如图16）.

图16

问题3：将△AOD折叠得到△ACD，由这两个三角形全等，可以得到哪些基本性质？

生：对应边相等，即AC=AO=6，OD=CD=2；对应角相等，即∠ACD=∠AOD=90°.

问题4：你能在图中找到哪些基本图形，从而帮助你解决问题？

学生经过讨论和思考，呈现出如下多种解法.

解法1：因为AD⊥OC，AO⊥OD，

学生辨认基本图形（如图17（1）），

从而得到相似的基本图形（如图17（2）），

即△AOD∽△OFC.

先求出OE的长为，

图17

解法2：连接CD，可得OD=CD=2.

得到基本图形（如图18），且△AOD∽△OFC.

图18

设FC=x，

则OF=3x，DF=3x-2.

在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，

得(3x-2)2+x2=2.2

解法3：连接CD，AC，

过点A作CF的垂线，交FC的延长线于点G.

得到基本图形（如图19），

图19

则△AGC∽△CFD，且相似比为.

设DF=x，

则GC=3x，FC=6-3x，AG=2+x.

解法4：由AD垂直平分线段OC，

图20

即基本图形（如图20），且A(0,6 ) ，D(2,0 ) ，

得直线AD的解析式为y=-3x+6.

则直线OC的解析式为.

得点E的横坐标为.

因为点E为OC中点，

则点C的横坐标为.

此题中几何基本图形较多，在解题教学设计过程中将重点放在多种解法上，能够锻炼学生在复杂的图形背景和条件中筛选出有用的基本图形的能力，教会学生把握事物的本质，以简驭繁.

中考复习阶段除了面对中考以外，更是学生为高中学习储备数学能力的关键时期.教师深挖习题，从题目的条件、问题和解题方法等方面设计能够引发学生深入思考的问题，抓住发展学生数学核心素养的“生长点”，才能回归数学学习的本真.