一道中考尺规作图题的解法分析及教学启示

（江苏省无锡市太湖格致中学；江苏省无锡市西漳中学）

数学教育的核心是对学生进行数学思维和语言的教育.在初中数学核心知识处考查学生用数学知识合理解释，直至创造性地解决问题的能力，检测数学教育的成果，这是江苏省无锡市中考数学试卷一贯的特点.

2018年江苏省无锡市中考试卷第26题是一道以数学实验操作为背景的试题，突出考查学生对尺规作图操作本质的理解，考查学生的思维能力和数学素养.此题题干简洁，形式新颖；解法开放，彰显能力；回归概念，突出素养，给我们具体的教学带来了许多启示.

一、试题呈现

题目如图1，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为B(6,4 ) .

（1）试用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹.）

图1

（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，试说明理由；若不唯一，试在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.

二、试题分析

此题虽然难度不是很大，但考查的内涵丰富、层次分明，具有起点低、入口宽、开放性和思维性强的特点，很好地考查了学生思维的发散性、灵活性、深刻性、批判性.

1.题干简洁，形式新颖

题目表述清晰明了，图形简洁且富有美感，留给学生较多的联想和想象的空间.题目不仅彰显了数学追求简洁美的本质，更体现出尺规作图不是简单的动手操作和发现结论，而是需要深层次的思维操作（在几何推理基础之上的几何构图）和联想想象.解决此题，首先要想象出符合要求的图形，进行可能的几何构图，在构图直观的基础上展开几何推理，并做出判断，进行相近联想、相似联想和因果联想，最终获得目标图形.

2.解法开放，彰显能力

第（1）小题有如下两个特点：第一，起点低，学生在数学理解和问题发现的基础上，调用头脑中的已有表象（“筝形”或矩形）即可获得目标图形，容易转化为基本尺规作图，进而运用直尺和圆规画出符合题意的图形.以矩形为例，可以转化为分别过点B作关于x轴和y轴的垂线（注意：目标图形用实线）；第二，入口宽，主要可以从“筝形”或矩形的角度切入.但是，对于第（1）小题，不管从哪个角度切入，要想判断这样的直线AC是否唯一，就不得不进行深入的分析、判断和推理.如果想到的目标草图是矩形（如图2），可以通过作图转化出矩形，即过点B分别作两条坐标轴的垂线；如果想到的目标草图是“筝形”（如图3），可以通过作图转化出“筝形”，即作BO的垂直平分线.对问题的深入理解，简洁有序的说理，恰是数学教育的核心.

图2

图3

对于第（2）小题，则要求学生先做判断，再基于判断寻找已知条件和到达结论的路径，主要考查学生的空间想象、几何直观、推理能力等数学素养，要求学生思维灵活、联想广阔、推理深刻、条理清晰、批判选择.

就第（2）小题而言，主要有以下两种典型的思路.

思路1：想象并画出如图4所示的目标草图，此时两个直角三角形的面积相等，且有一条公共斜边，则斜边上的高是相等的，可知AC必过BO的中点，两个直角三角形应该全等.第（2）小题既然问是否唯一，就说明结论很可能是不唯一.共边全等是确定的，那么变化的只有可能是位置.如果第（1）小题中两个全等直角三角形是中心对称的，那么两个全等直角三角形也可以是轴对称.当然，也可以从全等三角形中对应点如何对应的角度来想，即点B与点O的对应是确定的，那么另外两组点如何对应，只有两种可能.

图4

通过这样的逆向推理，就可以做出明确的几何判断，于是就抓住了转化的关键，找到了不同的作图方法，而且能够确定不同直线AC的条数.

思路2：想象并画出如图4所示的目标草图，此时两个直角三角形的面积相等，且有一条公共斜边，联想到两个全等的直角三角形公共斜边上的中线相等，于是想到四点共圆，且AC是直径（或者联想到“90°的圆周角所对的弦是直径”，其图形语言中有直角、有斜边，这是相似联想的基础）.在这个圆中，OB有两个身份.如果OB是直径，那么满足条件的目标图形应该是矩形；如果OB是弦，那么满足条件的目标图形应该是圆内的满足垂径定理的基本图形.之后的解题过程就是勾股定理、三角形相似和待定系数法的综合技能，分析略.

在中考考试的短暂时间内，学生能够呈现出两种思路和多种解法，说明试题的开放性激发了学生的创造性.

3.回归概念，突出素养

此题体现了江苏省无锡市近几年中考尺规作图题的一般特点：不明确指出“作什么”，需要学生回归基本概念，做出几何假设，想象目标图形，构造目标草图，进行多方联想，然后根据几何知识进行逆向推理，做出判断，确认目标图形，转化并选择基本尺规作图，精准作出目标图形.这一主动、自觉或自主化联想和转化的态度与意识是学生需要具备的基本数学素养，它是凭借学生的已有知识展开的.这就需要学生熟悉“四基”，深刻理解数学基本概念、定理和几何原型的本质，并能自主地进行转化、迁移和类比.

此题不仅考查了学生的基本作图能力，而且综合考查了全等、全等变换、圆等知识；不仅考查了作图的结果，更考查了学生的思维能力；不是机械地考查学生对知识的记忆，而是考查了学生对所学知识的本质理解、系统认识和综合运用.由此可见，这道中考尺规作图题的命制很好地发挥了尺规作图的教育价值，更好地指向数学学科核心素养，更好地指导日常教学的方向，即抓住尺规作图本质，促进数学素养建构.

三、教学启示

1.从教解题转变为教数学，帮助学生理解核心概念

对于教师而言，教解题不仅仅是讲解教材上的参考答案，而是要着眼于学生的知识掌握情况和能力水平，引导学生主动思考，积极探究解题过程，教会学生解题.解此题的关键就是要透过现象看本质，理解核心知识，以及其中所蕴涵的数学思想和方法.例如，解第（1）小题，可以运用矩形的概念，也可以联想“筝形”的特征，但“筝形”只是一线教师的总结，《义务教育数学课程标准（2011年版）》和教材中并没有涉及该内容.而经验丰富的教师总是会将一些“一线”总结的方法视为法宝，强加给学生，甚至忽视了学生的思维特点和思维过程.教师都是“解题高手”，都有自己的解题策略，但那些策略和方法并不一定是最适合学生的.事实上，此题中，矩形才是核心知识.在教材中，将三角形进行特殊旋转得到平行四边形，将平行四边形特殊化得到矩形.由此可见，矩形中所蕴涵的数学思想是转化，数学思考的方法是通过对角线分割转化为特殊三角形——直角三角形.矩形与直角三角形之间的天然联系是解题联想的重要基础，这恰恰来源于教数学而非教解题.帮助学生理解核心概念，正是数学教师教学的关键所在.

2.从教数学转变为学数学，帮助学生提升核心能力

数学教学仅仅停留在“教”的层面还不够，还要关注学生学的方式.从考前的课堂观察，到考后的阅卷分析，学生反映出的学习能力和创造能力都值得教师去关注、信任和培养.例如，此题的第（2）小题，对于学生而言就是一个全新的问题.但在紧张的考试中，能够出现多种不同的解法，这足以说明学生的创造力是无限的.而这种创造力的载体就是恰当的、开放性的问题.此题作图的实质是执果索因.学生依据自己的认知特点和知识背景，将问题与自己已有的知识经验相串联，反刍已有知识经验的本质特点，进行系统迁移，找到不同的路径通向结果，殊途同归的过程中体现出学生独特的思考方式和学习能力.这启发教师，在平时的教学中要变教数学为学数学.教师为学生做学的表率，在倾听中理解学生的想法，引导学生在倾听中理解他人的想法；在串联中实现以学生对话为出发点的课堂生成，引导学生将自己与他人，自己与文本，过去、现在与未来串联；在反刍中引导学生反思总结，发展学生的学习能力与创造能力.

3.从学数学转变为理解数学，帮助学生发展核心素养

上课时听懂了却很快就忘了，这个现象表明学生只是处于操作层面的思维模式，也就是知道应该这样做，却并没有理解其中的数学原理，即不知道为什么这样做.由此看来，理解数学要“知其然，知其所以然”，如此才能听过不忘、举一反三.理解数学就要正确地理解数学对象，用数学思维观察、发现、分析，将数学的三种语言（文字语言，图形语言，符号语言）相互转化，用数学知识和原理来说明解法的正确性.此题从题干到实验操作的整个过程，都强调数学文字语言与图形语言的转化，强调凭借自身的观察、思考、判断、推理等寻找符合题目特点的解题途径和方法.阅卷中，此题出现了近10种不同的解法.从另一层面去思考，这也反映了学生在某种程度上的思维混乱，反映了大部分学生没有真正理解题目的数学本质.由于学生对数学概念的理解不深刻、不全面，以至于解题时方向不明确、表达不清楚、思维混乱.这些都启发我们在带领学生学数学的过程中，理解概念之间的实质性联系及其中蕴涵的数学思想方法，让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯，这是帮助学生理解数学、发展学生数学核心素养的基本途径.

波利亚曾说：掌握数学就意味着善于解题，解题是数学学习的一个重要方面.作为教师，观察学生的解题过程不能仅仅关心解答的结果，也不能仅仅关心学生能给出多少种解法，而应该更多地去关注学生对问题的理解是否深刻、全面；对解法的选择是否抓住了问题的本质，是否符合最简原理；表达是否清晰，书写是否规范.问题是数学的生命，解题思路则是生命运行的轨迹.抓住了问题本质的解题方法一定是最简洁的，其思维也是最深刻的，这样才能真正理解数学.