解读双动点轨迹之线段最值问题的捆绑变换

李登位

(湖北省恩施市龙凤民族初级中学 445000)

一、前言

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等几何图形，通过“图形变换、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理.选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.

二、举例解析

数学卷中的数学压轴题中涉及数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方面题型较多、题意创新，目的是考查学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，更好地培养学生解题素养.

线段最值问题最常见的就是定点到动点最大距离或最小距离问题.因此，解决这类问题的关键在于弄清楚动点运动的轨迹.下面学习如何利用“捆绑变换”思想来探寻动点轨迹，从而解决线段的最值问题.

例1如图1，矩形ABCD中，AD=2AB=4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，求线段DF长的最大值和最小值.

例2如图2，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点作等腰三角形△PBC(点P、B、C按照逆时针方向排列)，则线段AC长的取值范围是____.

例3如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A(2，0).动点B在⊙O上，连接AB，作等边三角形△ABC(A、B、C为顺时针顺序)，求OC的最大值与最小值.

思路分析需要明白从主动点B到从动点C是作了怎样的变换？利用几何画板观察到，将点B绕着点A按照顺时针方向旋转60度得到点C，再找从动点C所在圆的圆心和半径，捆绑OB作相同的变换，即：将点O绕着点A按照顺时针旋转60度得到点O′，即以OA为边向上作等边△OAO′，则点O′就是点C所在圆的圆心，半径为O′C.连接BO、CO′，因△ABC和△OAO′均为等边三角形，则AO=AO′，AB=AC，∠BAO=∠CAO′，得△ABC≌△OAO′，CO′=BO=1，点C在以O′为圆心，1为半径的圆上运动，而OO′=AO=2，CO′=BO=1，所以CO的最大值为3，最小值为1.

以双动点为载体，图形为背景，运动变化为主线创设的求线段最值问题，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，判断动点运动轨迹的形状是解题的关键，根据图形建立变量之间的关系，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.要以静代动的解题思想解题.