基于Tikhonov正则化的大型接地网腐蚀初步诊断分析

(国网重庆市电力公司 技能培训中心，重庆 400053)

对于已建成的变电站，其接地网材料和导体段的长度、横截面、间距等均已知，若忽略周围环境因素，各支路的电阻值理论上恒定不变。但实际接地网在运行一定年限后，由于受到周围土壤的腐蚀，其支路电阻变大，导致变电站对地电阻增加，严重威胁到变电站的安全、稳定运行，因此对接地网进行腐蚀诊断具有重要的意义[1-2]。

关于接地网腐蚀诊断，传统的方法是停电进行大面积开挖，这种方法不仅盲目，而且不经济。通过不断研究和探索，基于电路和电磁原理的分析逐渐成为当前在接地网腐蚀诊断方面的两大主流方法。文献[3]基于电路原理建立了节点电压方程组，利用迭代法，对接地网各支路电阻进行了优化求解；文献[4-6]利用单纯形法对节点电压进行求解，并得接地网各段导体的电阻值增量；文献[7]通过引入分层约简方法对接地网的可测性进行分析，并提出了一种用于区分接地网明晰支路和不确定支路的新的接地网腐蚀诊断方法；文献[8]直接研发出一套接地网腐蚀诊断测试软件，文献[9-10]针对该软件进行了改进和优化；另外，文献[11]还针对接地网接地引下线发生偏移时的腐蚀诊断进行了讨论和分析。

基于以上研究，文中引入Tikhonov正则化方法，考虑到实际工程中大型接地网腐蚀更为普遍且情况复杂[12-14]，因此，在此主要针对大型接地网的腐蚀诊断进行初步诊断和分析。

1 Tikhonov正则化在接地网腐蚀诊断中的应用

1.1 正则化方法简介

正则化方法，于20世纪60年代初由Tikhonov提出，是求解不适定问题的普遍方法，其基本思想是构建一组适定方程，其解无限逼近原不适定方程组解[15]。正则化方法有很多，其中在工程上使用最为广泛的是Tikhonov正则化方法， 它以最小二乘问题为研究基础，通过在目标函数中添加一个罚项，使得新的目标函数的极小元问题为适定问题。现考虑方程组为

Kx=y

(1)

式中：K为数组x到数组y的一个线性紧算子。通过正则化处理，可得极小化的Tikhonov泛函，表示为

(2)

式中：α是正则化参数(α>0)，用于控制数据的拟合程度以及平衡解x的大小；Li是正则化矩阵(i阶)，用于控制解的光滑度[16]。

使用Tikhonov正则化方法，其求解精度极大程度上取决于正则化参数α值，因此通过合理选取α值，对未知解施加约束，以使α值匹配于原始数据。确定α值的方法有很多，文中主要采用L-曲线准则，该方法无需给定数据的误差水平。回顾式(2)，‖Kx-y‖、‖x‖均可视为Tikhonov正则化参数α的函数，若以lg(‖Kx-y‖2)为横坐标、lg(‖x‖2)为纵坐标，选取不同的α值，可得拟合曲线，如图1所示。

该曲线单调递减，因其形状像“L”，故称其为L-曲线，并称利用该曲线来确定Tikhonov正则化参数α的方法为L-曲线法[17-19]。用L-曲线法确定正则化参数α，鲁棒性较强，并被广泛用于遥感技术、图像恢复等技术中。但应注意，采用L-曲线法所得到的α值并非绝对最优，而是无限接近最优。

图1 L-曲线法

1.2 接地网腐蚀诊断建模

接地网导体段就其本身，电感较小，泄漏电导、对地电容很大，因此接地网可等效为一个纯电阻网络，并类似一个“黑匣子”，其对外引出接地引下线[20-21]。图2为某一具有n个节点、B条支路、m(m∈n)条引下线的接地网等值网络拓扑结构示意图，为方便，引入节点编号Vi(i=1，…，n；n为总节点数)和可及节点编号Mj(j=1，…，m；m为总可及节点数)，并用I表示外施直流激励。

图2 接地网拓扑结构示意图

则利用电网络相关理论知识可得

(3)

式中：In为节点注入电流，n×1维；Yn为节点导纳矩阵；A为关联矩阵；Yb为支路导纳矩阵；Un为节点电压。对式(3)求偏导数，可得节点电压Un随各支路电阻Rj的变化，即

(4)

利用单位阵对任意变量求导值均为零的性质，得

(5)

则将式(3)和式(5)代入式(4)，可得

(6)

利用式(6)即可求得接地网拓扑结构的灵敏度矩阵，用Mmb表示，m×b维，其中元素Mmb(i，j)表示支路电阻j的变化对节点i的影响，由此可知，矩阵Mmb由m个可及节点及其相关的支路b共同决定的元素构成。则可建立接地网腐蚀诊断模型为

(7)

式中：x为各支路电阻增大的倍数，1×b维；xj为接地网中第j条支路腐蚀后电阻增大的倍数，即xj=ΔRj/Rj0(Rj0为原始接地网对应第j条支路的电阻值)；ε为接地网腐蚀程度的一个极限；Um′为腐蚀后测得的节点电压值，Um为对应节点电压的理论值。

根据电网络理论，腐蚀前后接地网的电阻Rj与电流Ip(p表示第p种激励方式)之间必然存在某种函数关系，则令

(8)

对式(8)进行泰勒公式展开并保留一阶项，得

其中Rj′可表示为Rj′=Rj0(1+xj)，则将Rj′和式(9)代入式(7)，可简化目标函数为

(10)

1.3 基于Tikhonov正则化的腐蚀诊断模型求解

由式(7)可知，ΔUm=Mmb·x，当Mmb非奇异时，该方程组有解且唯一。但在实际实验中，由于存在观察时的测量和读数误差、计算机存储时的摄入误差等，因此文中对该方程组进行了修正，即

(Mmb+EM)·x=ΔUm+Eu

(11)

式中：EM、Eu依次为Mmb、ΔUm的随机误差矩阵。结合式(2)，为方便，取其正则化矩阵L为单位阵，建立Tikhonov正则化准则，有

(12)

则可得式(12)和式(11)的拉格朗日表示为

(13)

式中：μ为拉格朗日乘算子，m×1维。利用拉格朗日的求解方法可得

(14)

式中：⊗表示乘积算子，μ=(ΔUm-Mmbx)(1+xTx)-1，将其代入式(14)，则

(15)

式中：In为单位阵，n×n维；g为引入的中间变量；α为Tikhonov正则化参数。基于式(15)，归纳整理得接地网腐蚀诊断的具体算法步骤如下。

1)根据变电站的接地网设计图纸得接地网拓扑结构，并计算各支路电阻的标称电阻值R0，b×1维。

2)初始化。轮换激励多处测量可及节点电压方式，得增广的电压观测值向量Ue，并利用节点电压法计算初始的增广电压向量U0，按照式(6)计算初始灵敏度M1i,j，利用L-曲线法选择初始正则化参数α0，且正则化矩阵L取为单位阵，容许误差的阈值取为ε。

3)第1次迭代。计算腐蚀诊断方程组的最小二乘解作为模型参数迭代的初始解x～(0)，计算中间变量初值g～(0)，代入式(15)，计算第1次迭代结果x～(1)、g～(1)，并记t=1；

4)计算1。利用x～(1)计算出R1，代入式(3)计算U1，再代入式(16)计算增广的节点电压增量向量ΔU2，将R1和U1代入式(17)计算M2i,j，与此同时，计算正则化参数α1。

ΔU1=Ue-Ut-1

(16)

(17)

5)计算2。将步骤(4)所得ΔU2和M2i,j代入式(18)，迭代计算x～(2)、g～(2)，t=t+1。

ΔU1=Mtxt

(18)

6)循环。记第t次的迭代结果为x～(t)、g～(t)，更新灵敏度矩阵M(t+1)i,j，更新正则化参数αt，利用式(16)、式(17)及式(18)计算第t+1次的迭代结果x～(t+1)、g～(t+1)(t≥1)。

成纤维细胞生长因子21(fibroblast growth factor，FGF-21)是成纤维细胞生长因子家族的新成员，主要在肝表达，其可以调节组织细胞糖脂代谢，具有与胰岛素类似的作用，并可增加机体胰岛素的敏感性，在一定范围内改善胰岛素抵抗但不导致低血糖发生[1]。然而，目前关于FGF-21在糖尿病发病中的生理作用尚未完全阐明。本研究旨在探讨早发初诊2型糖尿病(type 2 diabetes mellitus，T2DM)患者血浆FGF-21水平及其与糖脂代谢参数的关系。现报道如下。

7)终止条件。将第(6)步的迭代结果，结合容许误差的阈值ε判断，即‖x～(t+1)-x～(t)‖<ε，如果成立，则迭代停止，输出x～(t+1)；反之，则重复步骤(6)。按以上思路编制MATLAB程序。

2 大型接地网腐蚀诊断预处理

通常定义占地面积大于8 000 km2的接地网为大型接地网，其电压等级多为220 kV及以上。表1为一些大型接地网的电压等级和占地面积情况。

表1 大型接地网占地面积举例

由表1可知，重庆永川220 kV邮亭变电站接地网属于大型接地网，于1998年建成，2000年投运。站内含有3个电压等级(220 kV、110 kV、10 kV)，高压侧3回进线，中压侧2回出线。邮亭变电站接地网近乎一个标准的大矩形，东西和南北方向各有13个和18个边长为10 m的正方形网格，其占地面积达23 400 km2。利用ATPDraw程序对该接地网进行模拟，并根据实测电阻率ρ=2.3×10-6Ω·m，实际竣工图的尺寸比例取导体长度l和导体横截面积s，按R=ρ·l/s计算得接地网各支路电阻值，即可得等效实际邮亭变电站未发生腐蚀的初始接地网拓扑结构，如图3所示。

图3 220 kV邮亭变电站接地网模拟图

在对大型接地网进行腐蚀诊断前，应对其进行合理的分块[22-23]，包括分区测量(按电压等级)、大分块测量(8×8规模的网格)以及小分块测量(6×6规模的网格)。由于大跨距测量效果不佳且费事费力，因此采用了分块测量方式，将该接地网划分为6块，并依次记为A～F，如图4所示。

图4 分块情况

采用分块方式进行接地网腐蚀诊断时，应特别注意，其诊断结果仅能反映各自分块内的腐蚀情况，而对于相邻分块或其他分块的腐蚀情况无能为力，因此，为防止误诊、漏诊，应对其他分块分别进行诊断。

3 大型接地网腐蚀初步诊断

考虑到局部的区域性腐蚀是大型接地网中常见的故障之一，因此文中设定图4中支路248、249、271、272、292、293、260、261、262、280、281、282发生腐蚀，其支路电阻值增大至标称值(7.66 mΩ)的4倍，即30.64 mΩ。

1)初步诊断一

采用外施直流激励4组(I=30 A)和测量端口电压(每组激励下测量20组)的方式，代入编制的MATLAB诊断程序，并依次设置迭代上限为10次、50次、200次及500次，得诊断结果如图5和表2所示。

2)初步诊断二

在初步诊断一的基础上，新增两组激励，并每组激励测量20组端口电压，与初步诊断一中测得的数据一并代入诊断程序，同样设置迭代上限依次为10次、50次、200次及500次，得诊断结果如图6和表3所示。

(a) 迭代上限10次

(b)迭代上限50次

(c)迭代上限200次

(d)迭代上限500次图5 初步诊断结果一

表2 诊断结果一记录 mΩ

(a) 迭代上限10次

(b)迭代上限50次

(c)迭代上限200次

(d)迭代上限500次图6 初步诊断结果二

表3 诊断结果二记录 mΩ

另外，诊断程序的运行环境：计算机8 GB运行内存、64位操作系统，则统计以上初步诊断对应迭代次数所需的迭代时长如表4所示。

表4 迭代时间 s

4 结果分析

由图5和表2可知，在进行初步诊断一时，诊断结果并不理想，其中在迭代10次时出现了误诊。因此考虑补测数据，进行初步诊断二。结果表明，诊断误差(相比设定的支路电阻腐蚀值30.64 mΩ)明显减少，且无误诊情况，并随着迭代次数的增加，诊断误差逐渐得到改善。文中虽然未能一一诊断出所有腐蚀支路，但随着迭代次数的变化，正则化参数α逐渐趋于零值(但不等于零)，这表明其迭代解逐渐收敛于准确解，符合α值的取值规律，也从侧面验证了Tikhonov正则化方法在接地网腐蚀诊断方面应用的可行性。

分析迭代时长可知，虽然通过适当增加激励并测量节点电压的方式来增加迭代方程数后，增加了总的诊断时长，但分析其诊断效果发现，在诊断误差数量明显减少的基础上，诊断时长变化不大。由此可见，将Tikhonov正则化方法用于接地网腐蚀诊断，其诊断效率可观，能为大型接地网腐蚀诊断提供初步的诊断依据。

5 结论

1)文中对传统的接地网腐蚀诊断模型进行了修正，并结合修正后的腐蚀诊断方程特性，引入Tikhonov正则化方法进行模型求解，并编制了MATLAB程序。

2)通过对大型接地网腐蚀的初步诊断，结果显示，适当增加激励和测量节点电压后，随着迭代次数的增加，诊断误差减少明显。

3)正则化参数α随迭代次数的增加逐渐趋于零(但不等于零)，进而表明迭代解逐渐收敛于准确解。

4)诊断时长的变化表明，Tikhonov正则化方法在大型接地网腐蚀的初步诊断中，诊断效果良好。