J-正则模与J-正则环

向跃明， 万欣

（怀化学院数学与计算科学学院，湖南怀化418000）

1 引言

在本文中，R是有单位元的结合环，所有的模都是酉模.除非另外提到，M表示一个左R-模，M*=HomR（M，R）.映射都记在右边.如果M是一个R-模，则M的根rad（M）为M的所有极大子模的交.若M没有极大子模，则rad（M）=M.J（R）表示R的Jacobson根.我们用N＜M表示N是M的多余子模.对于通常的符号，请读者参考文献[1-3].

元素a∈R是（von Neumann）正则元[2]，如果存在元素x∈R使得a=xax.如果一个环R的每个元素都是正则的，那么它称为正则环.类似于von Neumann正则环的元素定义，Zelmanowitz[4]称R-模M正则，如果对任何x∈M存在α∈M*使得（xα）x=x.元素a∈R称为半正则[5]，如果存在b∈R使得bab=b，并且ab∈J（R）.环R称为半正则环，如果环R的每个元素都是半正则的.例子包括所有的正则环，半完全环和右连续环等.此外，Nicholson还引入了一类半正则模，用以推广正则模和半完全模.一个R-模M的元素x称为半正则的，如果存在α∈M*使得（xα）2=（xα）并且x-（xα）x∈rad（M）.其给出了这些模的一些刻画，并证明了一个结构定理.在[6]中，如果R/J（R）是正则的，那么R就称为J-正则的.这里证明了如果R是J-正则的，则：（1）R是右n-内射的当且仅当R的n-生成的多余右理想到R的任意同态可以扩张到R到R的同态；（2）R是右FP-内射环当且仅当R是右（J，R）-FP-内射，一些已知的结果得以改善.

设R是环，M是R-模.在本文的第二节，我们称M的一个元素x为J-正则，如果存在α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.如果模M的每个元素都是J-正则的，则称其为J-正则模.这类模是半正则模和半局部模的推广.我们讨论了J-正则模的一些性质.第三节专门研究了J-正则环的一些性质.证明了环R是J-正则的当且仅当每一个左R-模是J-正则的.设M是有限生成的J-正则的投射模，我们证明了其自同态环EndR（M）也是J-正则的.在第四节中，我们研究环的几个扩张，如Morita Context和群环.相应的结论成为推论.

2 J-正则模

定义2.1设M为R-模，rad（M）为M的根.元素x∈M叫做J-正则的，如果存在一个α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.如果模M的每个元素都是J-正则的，则称其为J-正则模.

根据定义，半正则模是J-正则模.

引理2.2设M为R-模，且x，y∈M.如果x是J-正则的，y∈rad（M），则x+y是J-正则的.

证明：由假设，存在一个α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.于是

因此，x+y是J-正则的.

引理2.3设M为R-模，x∈M.如果α∈M*使得x-（xα）x是J-正则的，则x是J-正则的.

证明：因为x-（xα）x是J-正则的，则存在β∈M*使得

（x-（xα）x）-（x-（xα）x）β（x-（xα）x）∈rad（M）.

于是x-（xα+xβ-（xα）（xβ）-（（xα）x）β+（（（xα）x）β）（xα））x∈rad（M）.

令γ=α+β-α（xβ）-β（xα）+α（xβ）（xα）.容易验证γ∈M*以及x-（xγ）x∈rad（M），这证明了x是J-正则的.

根据文献[7]，M的一个子模N在M中有一个弱补L，如果N+L=M并且N∩L＜M.

定理2.4设R是环，M是R-模.如果rad（M）＜M，则下述等价.

（1）M是J-正则的；

（2）M/rad（M）是正则的；

（3）M的每个有限生成子模都有一个弱补；

（4）M的每个循环子模都有一个弱补.

证明：（3）⇒（4）是显而易见的.为了方便，我们设∶=M/rad（M）.

（4）⇒（1）令x∈M.由假设，Rx有一个弱补，即存在一个子模L使得Rx+L=M并且Rx∩L＜M.因此，我们有（xα）x+y=x，这里α∈M*，y∈L.于是，x-（xα）x=y∈Rx∩L＜M，进而x-（xα）x∈rad（M）.这证明了M是J-正则的.

例2.5（1）没有极大子模的模是J-正则模.

（2）若M/rad（M）是半单模，则M是半局部模[7].由上述定理，半局部模是J-正则的.

命题2.6如果M＝○i∈IMi是R-模的直和，则M是J-正则的当且仅当对于每个i∈I，Mi是J-正则的.

证明：必要性是显而易见的.对于充分性只需证明两个直和项的情况.因此令M=N○K.

考虑任意x+y∈M，这里x∈N，y∈K.因为N是J-正则的，选择α∈M*使得x-（xα）x∈rad（N）⊆rad（M）.扩充α至M，Kα=0.于是（x+y）α=xα，进而（x+y）-（（x+y）α）（x+y）=（x-（xα）x）+（y-（xα）y）.

由假设，y-（xα）y在K中是J-正则的.注意到x-（xα）x∈rad（M），由引理2.2，（x+y）-（（x+y）α）（x+y）在M中是J-正则的.由引理2.3，x+y是J-正则的.

3 J-正则环

定义3.1如果R作为R-模是J-正则的，那么环R就是J-正则的，也就是说，对于R的每个元素x，存在y∈R使得x-xyx∈J（R）.根据定理2.4，环R是J-正则的当且仅当R/J（R）是正则的.

例3.2（1）环R称为半正则的，如果R/J（R）是正则的，并且幂等元模J（R）提升.故半正则环是J-正则环.

（2）根据文献[8]，如果R/J（R）是布尔环，则称R为J-布尔环.因为布尔环是正则的，J-布尔环是J-正则的.

（3）如果R/J（R）是半单环，则环R是半局部的.那么半局部环就是J-正则的.

例3.3（1）令k=Z2，k〈x，y〉是非交换变量x，y的自由代数.设R=k〈x，y〉/yx是k〈x，y〉的商环.再令RΣ是R的泛局部化[9].于是RΣ/J（RΣ）≌k×k是布尔环.所以RΣ是J-布尔环，进而是J-正则的.然而，其幂等元并不模J（R）提升.因此RΣ不是半正则环.

下列结论是J-正则环的一些基本性质，其部分结论来源于文献[6].环R称为半本原环，如果J（R）=0.

引理3.4设是一个环.则下列结论成立.

（1）R是正则环当且仅当R是J-正则，半本原环.

（2）R是半正则环当且仅当R是J-正则环且幂等元模J（R）提升.

（3）J-正则环的同态像仍是J-正则环.

（4）环的直积R=∏i∈IRi是J-正则环当且仅当Ri是J-正则环.

（5）如果R是J-正则环，则eRe也是J-正则环，这里e2=e∈R.

（6）如果R是J-正则环，则Mn（R）也是J-正则环（n≥1）.

例3.5设R=Z2×Z4×Z8×…，则R是J-正则环但不是半局部环.

命题3.6设R是J-正则环，则：

（1）对R的任意理想I，J（R/I）=（J（R）+I）/I.

（2）如果f∶R→S是满环同态，则（J（R））f=J（S）.

证明：（1）显然（J（R）+I）/I⊆（R/I）.于是我们有

因为R/J（R）+I是正则环R/J（R）的商环，其也是正则环，故

于是，我们有J（R/I）=（J（R）+I）/I.

（2）是（1）的立即结论.

通常地，对任意同态f∶M→N，我们得到（rad（M））f⊆rad（Mf）.R-模M称为good模[3]，如果（rad（M））f=rad（Mf）.由命题3.6，J-正则环是左good环.

命题3.7设I是R的理想，I∈J（R），则R是J-正则环当且仅当R/I是J-正则环.

证明：必要性由引理3.4（3）可得.现证充分性，假设R/I是J-正则环，我们有

因为J-正则环是正则的.于是，正则的即是J-正则环.

推论3.8设I是环R的诣零理想，则R是J-正则环当且仅当R/I是J-正则环.

命题3.9设I是环R的理想，则下述等价：

（1）R/I是J-正则环；

（2）对所有自然数n，R/In是J-正则环；

（3）对某些自然数n，R/In是J-正则环.

证明：（2）⇒（3）是显然的.

（1）⇒（2）设R/I是J-正则环.易证明对任意自然数n，（I/In）n=0.注意到R/I≌（R/In）/（I/In），根据推论3.18，R/In是J-正则环.

（3）⇒（1）若对某些自然数n，R/In是J-正则环.我们定义映射φ∶R/In→R/I.容易证明其是定义良好的环同态.于是根据引理3.4，结论成立.

命题3.10对环R，下述等价：

（1）R是J-正则环；

（2）每个R-模是J-正则.

证明：（2）⇒（1）是平凡的.

（1）⇒（2）对任意R-模M，存在集合Λ和满同态R（Λ）→M.因为

故有满同态f∶（R/rad（R））（Λ）→M/rad（M）.根据假设和文献[4]中定理2.8，（R/rad（R））（Λ）是正则的，进而M/rad（M）正则的.再根据定理2.4，M是J-正则的.

命题3.11设M是投射R-模.如果M是有限生成J-正则的，则自同态环EndR（M）是J-正则环.

证明：由假设，M/rad（M）是正则的且rad（M）＜M.根据文献[3]中22.2，

因为M/rad（M）是有限生成正则模，根据文献[10]中的定理3.6，EndR（M/rad（M））是正则环.故EndR（M）/J（EndR（M））是正则的，进而EndR（M）是J-正则环.

现在，文献[6]中的定理8可以作为我们结论的推论.

推论3.12设R是J-正则环，M是有限生成投射R-模，则自同态环EndR（M）是J-正则环.

4 环扩张

本节中，我们考虑J-正则环的一些扩张.

Morita Context包含二个环A，B，二个双模AMB，BNA和一对双模同态φ∶M○BN→A和ψ∶N○AM→B，满足条件φ（m○n）m′=mψ（n○m′）和ψ（n○m）n′=nφ（m○n′），这里m，m′∈M，n，n′∈N.其例子包含所有2×2矩阵环和所有的上三角矩阵环.

命题4.1设是Morita Context，其中MN⊆J（A），NM⊆J（B）.则T是J-正则环当且仅当A，B都是J-正则环.

证明：由文献[11]中的命题2.6，

注意到MN⊆J（A），NM⊆J（B），于是T/J（T）≌A/J（A）×B/J（B）.故T是J-正则环当且仅当A，B都是J-正则环.

推论4.2设R是环.上三角矩阵环Tn（R）（n∈N）是J-正则环当且仅当R是J-正则环.

设R是环，G是群，RG表示群环.我们有环同态ε∶RG→R，Σrgg→Σrg，叫做RG的增广映射，其核记作△（RG），△（RG）={Σg∈Gag（1-g）∶1≠g，ag∈R}.容易验证RG/△（RG）≌R.群G称为局部有限的，如果G的任意有限生成子群是有限的.下列引理可以在文献[12]中找到.

引理4.3设R是环，G是群.群环RG是正则环当且仅当是R正则的，G是局部有限的且G的任意有限子群的阶在R中可逆.

注4.4上述结果不能推广到半正则环.例如，设群G的阶为3.由文献[5]的例2.14的讨论，群环RG不是半局部环.但是，对于J-正则环我们有如下一些结论.

命题4.5设R是环，G是群.如果下述条款成立

（1）R是J-正则环；

（2）G是局部有限群；

（3）G的任意有限子群的阶在R中可逆.

则群环RG是J-正则环.

证明：为方便表示，记=R/J（R）.因为G是局部有限群，根据文献[13]的引理4，J（R）G≌J（RG），故J（RG/J（R）G）=J（RG）/J（R）G.于是，我们有

因为G的任意有限子群的阶在R中可逆，则G的任意有限子群的阶在R中可逆.注意到仍是正则的，根据引理4.3，RG是正则的，因此RG/J（RG），故RG/J（RG）是正则的，即RG是J-正则环.

命题4.6设R是交换环，G是Abel群.如果群环RG是J-正则环，则

（1）R是J-正则环；

（2）G是局部有限群；

（3）G的任意有限子群的阶在R中可逆.

证明：因为RG/△（RG）≌R，由引理3.4，R是J-正则环.类似地作为RG的同态像也是J-正则环.现设n是G的有限子群的阶.对任意x∉J（R），nx∉J（R），故n不是的零因子.再根据文献[14]中的定理6，J（G）=0G是正则环.再由引理4.3，（2）成立.最后因为n在中可逆，其在R中也是可逆的.命题得证.