基于提升思维品质的数学解题教学设计策略

姜兴荣

[摘  要] 因数学解题活动本质上是数学思维活动，故高质量的数学解题教学应基于数学思维品质的培养和提升. 在解题分析中提升思维的探究性，在问题变式拓展中提升思维的高度，在解题反思中提升元认知水平，在解题方法的优化中提升思维的宽度，在解题错解剖析与纠正中提升思维的严谨性.

[关键词] 数学解题;教学设计;思维品质

从一定程度上说，数学教学的过程就是数学解题教学的过程. 无论是数学知识的学习，还是数学知识的运用，都是以某种形式的问题为载体的分析、思考、抽象、探究、解决等数学化的思维过程，即数学解题的过程. 因此，数学解题教学的质量决定着学生数学学习的质量，进而决定着学生数学核心素养的培养水平. 如何进行数学解题教学也就成了数学课堂教学的头等大事. 由于数学解题本质上是数学思维活动，故高质量的数学解题教学应基于数学思维品质的培养和提升，这是不言而喻的. 文章拟从教学设计的视角，就如何基于提升学生思维品质进行数学解题教学谈几点看法，供同行参考.

高质量的数学题的求解活动，要求解题者深度理解数学知识、深刻领悟数学思想方法、有扎实的数学推理运算能力，因而对数学教学具有极高的价值. 高质量的数学题往往表现为题设条件抽象、关系隐匿，思维过程长，思路不易被发现，对解题者思维探究力和洞察力要求较高. 学生的思维水平有一个逐渐成长和发展的过程，需要在解题实践活动中经受长期的锻炼而逐步形成. 解题分析活动是在教师指导、影响下的师生思维交流、碰撞的活动过程，对学生思维探究性的快速提升具有极大的促进作用. 如何更好、更有效地发挥解题分析活动的这一作用，需要教师的精心设计和智慧化的课堂实施，现举例说明之.

案例1：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆方程+=1（a>b>0），F为椭圆的右焦点，C为椭圆的上顶点，过F的直线l交椭圆于A，B两点，若直线l的斜率为，且=，求椭圆的离心率.

分析二：师：上面这一解法运算量偏大，注意到直线l过焦点F，能否从椭圆的定义、对称性等方面考虑，看看有无其他运算量小一些的解法？

让学生在独立思考、积极探求的基础上，开展小组学习活动，进行交流、讨论，教师巡视、了解情况，必要时参与讨论，之后，让每个小组选派一名代表展示他们的解法.

解法二：过点A，B分别作右准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过点A作直线BB1的垂线，垂足為H，如图2.

从学生的角度看，解题分析活动是一种思维学习、锻炼和感悟的活动，教师的角色应定位于：帮助学生学会思维，切忌“越位”代替学生思考. 分析开始阶段，教师的几句引导性用语、师生的简短对话，主要是对学生的思维起引发、定向作用;后续的探索求解，要让学生亲身经历思维探究的磨砺，要让学生自己充分地展开独立思考，确有必要时再组织生生合作、讨论和交流活动，或教师启发引导，以此来有效地培养和发展学生的思维能力.

数学题是用文字、符号和图形图表等语言形来表述的，有其内在的必然联系，蕴含着一定的逻辑结构和数学模式，解题者若能洞悉其本质，就能在解题的道路上克难攻坚，“能洞悉本质”要求解题者必须具备良好的认知结构，具有一定的思维高度，居高临下，举重若轻. 实践证明，在不改变问题本质的前提下，从不同角度、不同层次、不同背景下变换问题的形式，能营造一种积极的思维气氛，有效地提升学生的思维层次和高度，开阔学生的视野，培养其探索精神和创新意识.

案例2：（教材中的原题）求证：C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.

对变式1进行逆向思考可得：

变式5：（南京市、盐城市2019届高三一模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=3，且对任意的n∈N*，都有a1C+a2C+a3C+…+an+1C=（an+2-1）·2n-1，证明：数列{an}是等差数列.

本案例从组合数的系数视角进行了纵向深化式变式拓展和横向类比式变式拓展. 常见的变式拓展方式有：低维问题向高维问题，常量问题向变量问题，单变量问题向多变量问题，静态问题向动态问题，相似相近对象之间的类比变式拓展，对原题的条件或结论进行弱化或增强或改变或交换等. 如将问题一般化或特殊化，等差数列问题与等比数列问题、椭圆问题与双曲线问题之间进行类比，在方程、函数式中引入参变量，二元最值问题拓展为三元最值问题等.

解完题后，对解题过程进行“回溯”，对整个解题的心路历程进行回顾总结、体会反思，从中提炼出重要的数学思想方法、有价值的结论和思维策略，作为以后解题的思维工具，指导今后的解题活动. 经常化的解题反思活动，能使解题者学会对自己的思维活动进行实时监督、主动控制、及时调整，在解题中遇到困难时，能通过自己的元认知活动主动调整思维策略，排除困难，探索到解题的思路. 学生的解题反思习惯、反思能力，需要教师在解题教学过程中引领、培养、提高.

案例3：已知α，β，γ∈R，cos2α+cos2β+cos2γ=1，sinα+sinβ+sinγ=0，求tanγ的最大值.

本题为三元问题，对学生而言困难较大，需要教师充分发挥主导作用，在教师的启发引导下，学生思考、小组讨论及师生对话互动等一系列活动之下，得到如下两种解法.

解法二：由解法一得tan2γ===1+≤1+1=2. 当且仅当sinα=sinβ时，上式等号成立，所以tanγ的最大值为.

反思：解法一通过消元、运用“主元思想”构造一元二次方程，将三元问题“降维”为一元问题去处理;解法二通过换元将三元问题化归为二元问题，进而将三元最值问题转化为二元最值问题，由基本不等式轻松获解. 这两种思路是我们处理多元问题的基本思想方法.

通过上述反思，学生在今后遇到此类问题时，就能主动运用上述“降维思想”调控自己的思维寻找解题思路，完成解题任务.

“一题多法”是解数学题的一大特征，体现了一个解题者思维的宽度指标. 在多种解法中，有的烦琐冗长，有的简捷优美;有的常规基本，有的技巧高超;有的着重代数方法，有的着重几何方法，有的着重三角方法;有的方法是数形结合，而最好的方法则是常规、简捷、优美. 这是数学解题活动的根本目标所在，也是数学解题教学的努力方向和最高境界. 要实现这样的教学目标，必须让解题教学过程成为一个解法对照、比较、优化的过程.

案例4：（苏州市2019届高三第一学期调研）如图3，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角θ满足tanθ=（其中0<θ<），现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.

（1）略;（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.

学生在解题时，多数是建系用解析法做的，其中又有两种思路. 思路一：设点B的坐标B（t，t）. 思路二：设直线AB的方程y=k（x-2）+1.极少有学生想到用面积法列式求解，而做对该题的学生为数不多. 讲评时，如何设计教学过程，来帮助学生拓宽思路，培养其从多个角度展开思维能力，应是本讲评的重中之重. 笔者进行了如下设计，收到了不錯的效果.

先投影展示学生思路一与思路二的解法如下.

思路一：以直线OA为x轴，以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系.

接着让全班学生观察分析，对照比较，发现思路二的解法不仅运算量大，而且容易出错，尤其是对k的取值范围的隐含性容易忽视，从中感悟解题方法的不同选择，其繁简程度大为不同.

提问：有没有其他简捷的解法？视学生思考的情形，提示：能否从面积的角度考虑考虑？仍然让学生思考想出下述解法.

通过本题这种类型的解题教学活动，让学生知道，解题不应止步于能解出问题，应有更高远的追求：寻求问题的最优最美的解法，让自己的思维飞得更高、更远.

学生因身心的成长性、数学学习的过程性及思维发展的渐进性，在解题的过程中出错是常有的事，从某种角度讲，学生的数学素养是在解题出错与剖析纠正的矛盾运动中不断取得进步的. 致错原因不外乎这几个方面：态度性错误，即因态度不认真而致错;知识性错误，即因知识理解不深不透运用致错;方法性错误，即因相应的方法未掌握或方法运用不当出现偏差而致错;推理错误，即因推理理由不充分或前后步骤不等价而致错;运算错误，即因用错公式或错用公式致错;审题错误，因审题不严不全不深致错. 这些错误背后的根本原因是缺乏思维的严谨性，所以，剖析出错的原因和纠正错误的过程都要从基于培养和提高思维的严谨性展开.

学生在解题中出错，表面上看是知识结构有“漏洞”、有“缺陷”，对问题的理解不够，深层原因则是在知识学习、运用的过程中的思维出了问题，本题中的错误就是思维严谨性不够使然. 所以，数学教学的根本是数学思维的培养和发展.

综上所述，解题活动不仅仅是将问题解决，更是一种思维活动;解题教学不仅仅是教会学生会解题，更是一种思维锻炼、思维提升的过程. 解题教学需要设计，在设计中定位教学目标，在设计中选准题，在设计中变式拓展;在设计基础上促进课堂生成，在设计基础上更好地实施师生互动，进而优化解题教学行为，使解题教学过程真正成为发展学生思维能力的高效活动.