合理布置数学课外作业的策略研究

【摘 要】 数学学科知识本身高度抽象性的特点，使部分学生对某个具体数学知识点的理解，很难在课堂的有限时间内一次性达到相应的目标，需要利用课外时间加以理解与巩固。因此，数学教学一般都特别重视学生的课外作业训练。教师可以采用循序渐进、个性指导、分层要求、分类提示、留有余地、课内课外相结合等策略，进一步发挥数学课外作业的价值。

【关键词】 数学课堂教学；数学课外作业；布置作业策略

【作者简介】 张昆，中学高级教师，现供职于淮北师范大学数学科学学院，安徽省淮北市第一中学（兼职），主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史等。

一、问题的提出

学生在学习数学时，及时地、恰当地做一定量的数学课外作业是必不可少的环节。这是因为：第一，有的学生在宝贵的、有限的课内时间，巩固刚刚学习的数学知识点及解决具体问题，对知识点的某些关键性特征、本质结构，难以做到准确熟练地把握。第二，在课堂上，有的学生不容易及时地将新知识纳入已有的知识结构，形成新的知识结构体系，从而内化为自己数学学习的经验，需要在课后有一个酝酿、消化、吸收与积累的过程。第三，完善学生的认知结构。学生的认知结构是在数学认识活动过程中实现的，它能够促使学生学习与思考数学材料，这对学生产生新的数学认知结构起着非常重要的辅助作用。这三点都需要教师通过科学地布置数学课外作业来解决。

在教学实际中，数学教育工作者、学校领导、家长与学生都从各自的视角出发，认为数学课外作业是数学教学活动整体结构中不可或缺的组成环节。教师在上课时，一般都会依据教学要求向学生布置一定数量的数学课外作业。笔者研读了数篇有关布置数学课外作業的教学论文发现，这些论文的主旨有两个方面：其一，介绍教师布置数学课外作业的经验[1]；其二，重在研究布置作业与提高学生学习成绩（主要体现在考试分数上）之间的关系[2]。有的数学教师认为，布置数学课外作业是学生学习数学的一个必要的环节。他们着重从经验的视角，阐述科学合理布置数学课外作业与提高学生的学习成绩正相关的结论。然而，笔者通过大量观察教师布置数学课外作业的现象，深入思考这些相关的结论后发现，有几个要素能说明这些研究不足以为我们的以下结论提供依据。

第一，数学教师在课堂上传授新数学知识（新授课），在促进学生巩固新数学知识后，其所布置的数学课外作业，可能影响学生对数学课外作业教学价值的评价与衡量。如果教师认为布置数学课外作业是课堂教学的一种形式化程序的需要，数学课外作业内容的质与量不能恰当地促进学生对所学习的数学知识点的理解、掌握与巩固，不能针对学生学习具体的数学知识的心理特点，那么，数学课外作业对学生学习具体数学知识点的有效性就会帮助甚微，甚至有可能浪费了学生的课外学习时间，干扰学生正常理解这个具体的知识点。如此，教师布置数学课外作业是没有多大意义的。

第二，教师、家长与学生对待数学课外作业的态度也会影响他们对数学课外作业价值的评价与衡量。如果学生认为布置数学课外作业没有多大意义，特别是对于提高自己的学习成绩（考试的分数）没有帮助，那么，教师布置数学课外作业对学生学习数学知识也不会产生较好的效果。同样，如果教师没有充分认识到数学课外作业在促进学生理解数学知识结构方面的价值，不以认真的态度对待所要布置的数学课外作业，并且不认真批阅学生的作业，对学生的作业完成情况不加以收集、整理、评价、进行个别指导或集体订正，那么，这也会潜移默化地影响学生及家长对待课外作业的态度，使学生或家长对待课外作业敷衍塞责、马虎了事。

第三，教师要求学生在规定的时间内以某种方式完成数学课外作业，而学生通过何种途径完成这些数学课外作业是教师无法直接掌控的。此时，数学课外作业的价值可以发挥的程度对于教师来说是无法确定的，教师必须思考如何促使学生在有限的时间内有效地完成所布置的课外作业。这就要求数学教师合理安排课外作业，形成计划性，通过间接手段适当地引导学生完成课外作业。

这些情形都有可能对课外作业所能实现的教学价值产生负面影响。那么，从前述的分析结论中，我们可以提出这样的问题：在数学教学活动过程中，教师应该通过什么方法，才能科学合理地布置数学课外作业，从而发挥数学课外作业的教学价值？这里首先从合理布置数学课外作业的意义说起。

二、合理布置数学课外作业的意义

为了探讨合理布置数学课外作业的意义与作用，我们先设定合理布置数学课外作业对于学生学习数学知识的效率与效果是一项有价值的、有意义的活动（将它看作一个不证自明的公理），并且数学教师能够采用几种有效的手段，促使数学课外作业对学生学习数学知识产生良好的效果，从而能比较好地发挥数学课外作业的教学价值。

第一，数学教师应该将要布置的数学课外作业的任务纳入教学计划，在备课时就要同其他的教学环节与要素结合在一起进行整体考虑，统一安排，而不是上完一节教授新知识点的课后，临时抱佛脚地布置当天的课外作业。一旦将布置数学课外作业的任务纳入教学计划之中，数学教师就会将其作为教学计划活动与事后评价反思活动的一个组成部分，并且会自觉地依据某个数学知识点的教学目的，对数学课外作业的内容层次与数量进行选择与决定。如此，教师通过布置数学课外作业，在大多数情况下能有效达成教学任务与教学目标。

第二，有的数学教师认为，学习数学技能、技巧的最佳途径是实践。学生对某个具体数学知识点的认识，在课堂上会花去一定的时间，但是，它也是教师实施课堂教学的重头戏，如此就剥夺了学生在课堂上练习数学技能所必需的时间。因此，要提高学生的认知、理解、掌握与应用数学知识的技能和水平，一种有效的手段就是布置学生能完成的数学课外作业，促使学生达到提高数学技能的目的。学生完成教师合理布置的数学课外作业，可以加强对这些数学技能的记忆与运用，通过分析、综合、评价数学概念与数学原理的练习，积累学习数学等多方面的经验。在教师为学生准备的随堂小测验、平时考试与某些关键性考试（如中考、高考）中，有的教师认为，数学课外作业是保证学生数学复习的一种有效途径。数学课外作业还能为组织课前预习，使学生对下一次数学课堂上教师将要讲授的学习内容做好铺垫。

第三，就数学课外作业的内容与形式来说，作业未必是千篇一律的书面作业。由于数学教师在课堂上施教的时间主要用于讲授新知识与解答学生在课堂学习中遇到的问题，因而很少能够在课堂上找到额外的时间开展以学生活动为主体的数学实验活动。而许多数学实验活动是非常有价值的，比如能够提高学生的数学学习兴趣、发现某些有价值的数学结论等。这些实验活动往往对素材与学习用具的要求不高，可以就地取材，只需要纸张、笔、计算器、普通玩具等就可以实现。有时候，教师可以鼓励学生制作某些抽象的数学概念或数学原理的具体表现物，这些都可以通过教师布置数学课外作业的方式来完成。

第四，数学课外作业的一个非常重要的功能，是诊断学生数学学习效果的工具与窗口。当前的课堂，数学教师往往要同时管理四五十名学生的数学学习活动，没有多少时间可以用来对某个学生进行单独考查与帮助。教师布置课外作业，要求学生使用刚学习的数学知识去完成，然后通过评阅，就能了解与掌握每个学生的学习状况，判断每个学生在学习具体的数学知识时所面临的困难，从而考虑个性化的补救措施。因此，在日常教学活动中，许多数学教师都将数学课外作业作为评价与衡量学生完成数学任务情况的主要方法。教师在课后抽出时间评阅、批改学生的数学课外作业，可以写评语，还可以单独找个别学生交流，学生获得教师的个别帮助并从中受益，教师也可以从中受益，这正是教学相长的具体体现，这些在课堂上也是不容易实现的。

总之，合理布置数学课外作业是课堂教学活动非常重要的一环，它能帮助学生真正理解、巩固与掌握数学知识结构，形成独立学习数学的能力，培养解决数学问题的技能，从而更好地完善教师的施教行為与学生的学习行为，最终决定课堂上教师的教与学生的学的效果。因此，数学教师应该对布置数学课外作业保持足够的重视，以发挥数学课外作业的教学价值。

三、合理布置数学课外作业对教师的技术要求

数学教师在课堂上向学生布置数学课外作业的方法，具有正误之分与优劣之别，这就对教师布置数学课外作业提出了相应的技术性要求。例如，有些教师在布置数学课堂作业时没有经过备课的计划性安排，他们有时直到一节课的下课铃响起，才匆忙地翻教科书，寻找教科书上的习题，眼睛一瞥，就不假思索地说“做某页的单号题”。这种布置课外作业的行为不利于发挥数学课外作业的教学价值。如果教师对于自己向学生布置数学课外作业都如此轻率，就会与要求学生重视自己布置的课外作业的愿望背道而驰。如果教师在备课时有充分的计划与准备，通过仔细地思考与选择，合理布置数学课外作业，并且认真地评阅与批改，随着时间的推移，学生就会潜移默化地体会到数学课外作业对数学学习的重要性，重视与尊重教师所布置的数学课外作业，在完成数学课外作业任务的过程中，始终保持认真与敬畏的态度，这对发挥数学课外作业的教学价值大有裨益。

因此，合理布置数学课外作业对教师提出了几项教学技术性较高的要求：第一，教师要精心选择作业题，最好对教科书所提供的每一道题都亲自动手解答，从而针对学生刚刚学习过的知识点与难易程度，相应地在布置数学课外作业的题型选择与数量方面，做到心中有数。经验表明，成绩一般的学生在完成某道作业题上所花费的时间是教师的三倍。第二，教师在布置数学课外作业之前，基于解答数学作业题的经历与经验，需要适当的、具有针对性的铺垫、渲染，以及恰到好处的提示，以此引发学生对课外作业的高度关注。第三，应尽可能地陈述清楚这节课布置这些数学课外作业的缘由（题目的类型与数量）。第四，对于成绩一般的学生来说，比较难的作业题，教师应该从功能上专门加以提示，解释如何完成本次课外作业。第五，必要时，教师应要求学生何时完成本次作业，以什么形式或格式来完成本次作业。第六，在备课时，教师要在课堂上留有时间，用以回答学生就本次数学课外作业在课堂上向教师提出的问题，并且教师应力求对学生的问题进行恰当说明，必要时，需要做出适当的调整与修正。

要使数学课外作业利于达成相应的教育与教学目的，以上这些技术性要求是必不可少的。教师要认真分析与思考这六个要求，将它们关联与整合起来，使自己布置的数学课外作业科学而合理。此外，教师需要处理好教科书的作业题量、学生学习某个具体知识点的情况、学生可能抽出的完成数学课外作业的时间量、学生对数学课外作业价值的认识所形成的态度等要素之间的关系，从而将这些要素整合起来，并且思考这些整合起来的要素，找到它们之间的某种程度上的平衡，确定向学生布置的具体作业题，如此才能最大限度地发挥数学课外作业的教学价值。

四、合理布置数学课外作业的实践策略

笔者从长期的数学教学实践中认识到，要发挥数学课外作业的教学价值，实现合理布置数学课外作业的目的，教师就应该考虑布置数学课外作业的某些专门方法与事项。这些专门的方法与事项构成了布置数学课外作业的实践策略。有些策略可能对教师每一次数学课外作业的布置都适用，另外的一些策略可能只是针对某些具体类型的数学课外作业有效。笔者在实践中总结了布置数学课外作业的主要策略，具体如下。

第一，循序渐进的策略。教师每次布置数学课外作业时，除了自己通过做每一道作业题获得具体的解题过程，还可以基于此，在布置作业前安排每个学生能完成的具体题目，题目的排序最好从易到难。原因是，如果某个学生不能在有限的时间内顺利地完成排列在前面的作业题，那么对于后面的作业题，学生可能就会失去继续做下去的意愿与心理内驱力，继而不想再认真地做下去。对于循序渐进的策略，有一点需要教师特别注意，就是同种类型的题目不要重复三次，以免浪费学生完成课外作业的宝贵时间。

第二，个性指导的策略。教师应该有意识地在课堂上抽出时间，有针对性地鼓励某些学生在课堂上开始做由教师指定的某些作业题。如此，教师就有可能了解某些学生在课外完成数学作业时可能出现的困难，因而能够在布置作业时进行个性化的、具有针对性的提示与指导，从而避免学生在课外独立完成这些作业时遇到克服不了的困难，而这样的困难是学生产生厌学情绪的重要因素。

第三，分层要求的策略。教师应该依据自己的观察或经验，掌握学生以前在学习某个具体数学知识点时的不同能力与水平，甚至不同的兴趣与动机水平，掌握分层布置数学课外作业的方法。比如基础题要求每个学生都必须做，而对于在基础题上附加的选择性作业题，学生可选做。如此可以达到以下几个目的：首先，保证学生通过完成课外作业，巩固课堂上所学习的数学知识点；其次，使学有余力的学生通过完成附加题的作业，巩固与完善自己的数学认知结构；最后，利用学生的竞争意识，促使即使是成绩一般的学生，也渴望力所能及地完成附加题，从而获得情感的满足。

第四，分类提示的策略。在备课时，教师通过提前做要布置的数学课外作业题，体悟学生在有限课外时间里可能面临的具体难度，对所布置的数学课外作业分类采取恰当的提示和建议，对某些类型的作业题可以给出答案，以便学生对自己得到的结果进行核对，从而通过重新思考、反思而自行修正，获得更大的教益。

第五，留有余地的策略。教师应布置一些不固定的数学课外作业（或者是没有固定标准答案的开放型作业题），使每个学生根据自己的时间，基于自己的不同兴趣、动机与不同的数学技能、能力水平，自主解答课外作业。如此，可以保证学生对同一道作业题都做而有得，不会被作业所困住，从而失去学习数学的兴趣与动机。

第六，课内课外相结合的策略。教师在备课时，要能够针对具体学生的不同情况做出相应的教学计划，将课内作业与课外作业进行整体考虑与衡量，使这两者在作业内容、题型与做作业的时间上相辅相成、相得益彰，形成合力，从而通过完成作业最大限度地巩固所学习的数学内容，实现课上课下的教与学的有效结合。

要注意的是，在实际教学活动中，对于布置数学课外作业的策略，教师必须关联性地使用。当然，也不排除某些策略特别适合学生学习某些具有特定结构的数学知识。因此，在课堂教学中，教师可以以某一策略为主，而辅之以其他策略。

策略只是手段而非目的，因此，教师选择布置课外作业的策略，需要考虑具體数学知识所蕴含的教学价值，由此生成教学目的，而不是布置任何一次数学课外作业都要使用这里列出来的所有策略。

五、结语

由于数学学科知识本身具有高度抽象性的特点，学生真正对某个具体数学知识点的理解很难在课堂上的有限时间内达到一次到位的程度，必须利用课外时间加以理解与巩固。因此，数学教学一般都特别重视学生的课外作业训练。课外作业训练在数学教学中占据了大量的时间，耗费了师生的很多精力，但实际效果并不十分理想[3]。可以说，数学课外作业有效性的问题，在数学教学中表现得最为突出和典型。如此，数学教师合理布置数学课外作业的技术性要求与策略，对于发挥数学课外作业的价值，将被置于突出的位置。

参考文献：

[1]刘习洪. 科学合理地布置数学作业要做到“四性”[J]. 生活教育，2015（20）：52-53.

[2]邓贡书. 科学合理布置初中数学作业[J]. 广西教育，2016（17）：104.

[3]许晓莲. 高中数学作业有效性问题研究[D]. 武汉：华中师范大学， 2015.