浅谈函数、方程与不等式的关系及简单应用

摘 要：函数、方程与不等式是高中数学的重要内容，三者之间的关系密切，其所蕴含的“函数与方程思想”是高中阶段重要的思想方法之一，也是解决有关函数问题的基本方法。

关键字：函数;方程;不等式

函数、方程、不等式之间有着密切的联系，只有体会了函数、方程与不等式之间的关系;才能更清晰的认识函数与方程这一重要的思想方法。同时，在解决二次函数、二次方程与二次不等式的问题时，可以借助于函数的图像，利用数形结合的方法来解决问题。

一、关于函数与方程

方程思想与函数思想有着紧密的联系，关于函数的问题可以转化为与其对应的方程来解决，有关方程的问题同样可以转化为相关函数加以解决。当函数值为零时其所对应的等式即为方程;从图像上看，函数是一条的曲线，方程仅是其值为零的情形。以二次函数为例，其表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，可得方程ax2+bx+c（a≠0）。二次函数的图像在坐标系内为抛物线，该曲线与x轴交点的横坐标就是相应二次方程的解;求函数y=f（x）的零点即求方程f（x）=0的根。

二、关于函数与不等式

函数y=f（x）的函数值于为正或为负时就可得到与之对应的不等式f（x）>0（或<0）。函数值为正（负）所对应的自变量x的范围，即解关于x的不等式f（x）>0（或<0）。从函数图像上看，函数图像在x轴上方（或下方）则表示不等式大于（或小于）零的情形。这一过程中，可让学生尝试通过图像去解决有关不等式的问题，锻炼他们的读图和识图能力。

三、注重数学思想方法的渗透和思维方式的培养

实际教学中，可由具体实例出发，培养由具体到抽象、从特殊到一般的思维方式，让学生体会“转化思想”在数学中的作用和价值。引导学生通过观察类比的方式，提高他们分析问题与解决问题的能力;增强学生的数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。完成以上过程之后，可再选取与其有关的综合问题，让学生尝试自主解答，从而熟悉函数、方程与不等式之间的基本关系，以及其中所蕴含的数学思想方法，举例如下。

例1：关于x的函数f（x）=2（a+1）x2+4ax+2a-1，（a为实数）

函数图像与x轴有两不同交点，求实数a的取值范围;

函数y=f（x）的一个零点为1，求实数a的值;

关于x的方程f（x）=0有两不同实根，且两根异号，求实数a的取值范围。

【试题分析】：问题（1）考察函数图像，二次函数的图像与x轴有两不同交点，则二次项的系数不为零，且判别式大于零;问题（2）由函数零点的定义可知，y=f（x）的零点就是使f（x0）=0的自变量x0，带入即可;问题（3）考察一元二次方程根的分布问题，可结合函数图像进行分析，利用数形结合的方法去解决问题。

【试题解答】：

（1）要使y=f（x）的图像与x轴有两个不同交点，

f（1）=0由题得解得a<1，且a≠-1.

（2）因为y=f（x）的一个零点为1，即

（3）令2（a+1）x2+4ax+2a-1=0，设其两根为x1与x2，且x10，其图像如下：

由图可知解得.

【点评】：解答本题的关键是要认清“函数图像与坐标轴的交点、方程的根及函数的零点”三者之间的关系，搞清它们之间的联系，再利用这种联系去转化与解决相关问题。

结语

方程思想就是利用问题中的变量间所具有的等量关系，通过解方程或方程组的方法，运用方程的相关性质去解决问题。函数思想就是利用函数的性质与图像去解决问题，构造出相应函数或建立出函数关系，使问题得以转化。研究函数的性质和图像，离不开不等式与方程的帮助，反之利用函数的性质和图像，可解决方程与不等式的有关问题。在解决以上数学问题时，若能巧妙的应用函数与方程的思想，往往能达到很好的效果。

参考文献

[1]贾钰明.数学思维在高中数学不等式教学中的作用[J].科教导刊，2014.

[2]王小华.浅谈高中数学教学的思想方法渗透[J].课程教育研究.2014（01）.

[3]韩发明.应用二次函数性质综合推理[J].中學生数理化（高一版）.2009（Z1）.

作者简介：殷久旋;性别：男;出生年月：199201;籍贯（具体到市）：安徽省滁州市;民族;汉最高学历：本科;目前职称：中学二级;研究方向：高中数学教育