基于魔比斯环的拓展实验和性质初探

沈敏

【摘要】：从素质教育素材引入魔比斯环及其手工实验，在此基础上从不同初始扭转值、裁剪多次、不沿中线裁剪三个方向拓展出一系列相关手工实验，并取得初步的实验数据，基于这些手工实验和实验数据，对以魔比斯环为代表的、初始扭转为奇数*π的一系列纸圈的性质进行了初步探讨，最后指出未来有潜力的深入研究方向。

【关键词】：拓扑几何  魔比斯环  素质教育 拓展实验

素质教育一直是备受关注的话题，而类似四色定理、魔比斯环等等数学领域的话题其实完全可以作为素质教育的素材，用以启迪青少年的学习兴趣。本文拟从摩比斯环的手工实验切入，做一些简单的尝试。

一、       摩比斯环的制作

魔比斯环又叫莫比乌斯带，是数学领域里一种特殊的曲面，有着很多奇妙的性质。魔比斯环于公元1858年由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现并以莫比乌斯的名字命名。抛开深邃而严谨的数学公式，我们可以这样制作一个简单的魔比斯环：把一根纸条的一端扭转π后，与另一端粘接起来做成一个纸带圈。

二、       摩比斯环的性质

魔比斯环具有很多魔术般的性质。

如我们比较熟知的，普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，我们沿纸带中间画一条连续曲线只能覆盖到纸带的一个面（比如正面），如果想要覆盖到另一面（比如反面），就必须越过纸带的边缘。而魔比斯环只有一个面（即单侧曲面），我们沿纸带中间画一条连续曲线可以不必越过纸带的边缘就能覆盖到整个曲面，或者说从曲线出发点出发，笔尖不必越过纸带边缘就可以将这条连续曲线划到出发点背面对应的位置。

将魔比斯环沿中央剪开，纸圈并没有一分为二，而是成为一个两倍长的大纸圈。这个大纸圈是一个扭转的双侧曲面，扭转了多少度呢？它等价于将纸带一端扭转4π后与另一端粘接起来做成的纸带圈。从上述手工实验可以发现，制作单侧曲面的摩比斯环时一端扭转的π，在沿中线裁剪过程中翻了4倍并转移到新形成的大的双侧曲面纸带圈上，即大的纸带圈扭转了4π。

三、       摩比斯环的拓展及相关性质

如果把上述得到的扭转4π的双侧曲面纸带圈再沿中线剪开，则得到两条互相缠绕的双侧曲面纸带圈，并且这两条纸带圈分别等价于将纸带一端扭转4π后与另一端粘接起来做成的纸带圈。即这个扭转4π的纸带圈再次沿中线裁剪后得到的两个纸带圈扭转效果不再变化，每条纸带圈均扭转4π。而且，这两条相互缠绕的纸带如果选其中一条为基准，则另一条绕它旋转缠绕两圈，即缠绕4π。其他初始扭转的纸带及其沿中线裁剪后的情况详见表1，表中右下角空白处因未做实验，暂无数据。

从上表中的实验数据可以发现，初始扭转为偶数*π的纸圈沿中线裁剪后的情况相对简单。而初始扭转为奇数*π的纸圈的性质都类似于魔比斯环，都是单侧曲面，并且沿中线裁剪后的情况都相对复杂得多。比如初始扭转为3π的纸圈，沿中线裁剪第2次后得到的纸圈虽然只有2个，但是不光每个纸圈的扭转达到8π，而且两个纸圈既有相互多重缠绕，还有自身的多重缠绕，已经十分错综复杂。

另一方面，上述的裁剪均是沿中线裁剪，如果不是沿中线裁剪呢？

实验结果显示，初始扭转为偶数*π的纸圈，由于初始扭转是整圈，故不管是否沿中线裁剪均不影响结果。但是初始扭转为奇数*π的纸圈则不同，如果不沿中线裁剪而是偏一边裁剪，剪第1次后得到的就不是1个更长的纸圈，而是1个同原来一样长但窄一些、扭转值等于初始值的纸圈，外加1个更长的纸圈。其中这个长纸圈与沿中线裁剪得到的长纸圈等价，并且这一长一短两个纸圈相互缠绕在一起，缠绕值=初始扭转值*2。

四、       小结

从上述的手工实验结果可以发现，实际上性质类似魔比斯环的纸带圈远不止将一端扭转180°或π后粘接的纸圈这一种，而是初始扭转为奇数*π的这一类纸圈都有类似性质，并且随着初始扭轉值越大，沿中线裁剪后得到的纸圈情况越复杂。上述的手工实验看似简单，但实际上至少启发了两个问题或者两个探索方向：

1. 能否通过严谨的数学推理得到如表1所示的纸圈的规律。其中两个自变量分别为初始扭转值和沿中线裁剪次数，因变量则包括得到纸圈数、每个纸圈扭转值、自身缠绕值、相互缠绕值等。

2. 能否构建电脑模型来模拟上述手工实验用以研究其规律。