基于学生深度体验的高中数学概念教学变革

冯小辉 陈其东

摘 要：由于数学是一门基于基本概念的学科，理解数学概念的性质不仅会促进学生对于教学科目的深入领会，还将增加他们对数学知识学习方法的理解。在本文中，通过“函数的单调性”的概念教育实例，学生实际体验了函数单调性的概念化过程，分析了学生有效的深度体验，给出了学科深藏的知识，方法，态度，价值观，并创造了情感和意义，以提高学生的数学学习成果。

关键词：数学概念;核心问题;深度体验;反思

引用一位高中数学教材编写老师的话说： “数学概念，数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的。如果有人认为某个特定的概念是不自然的，并且是强加于别人的，那就考虑一下背景，它其实是通过塑造，应用和与其他概念相关的合成过程，你就会发现它实际上是自然的产品。”这其实就是概念教育的基本意识形态，数学课程的第一步必须促进概念的顺畅学习与掌握，否則，它是不会被称为“教学数学”和“学习数学”。在课堂教学中，概念教学的水到渠成必须包括两个方面：首先是知识的逻辑顺序自然：其次是学生心理思考顺序的自然，这主要是一个思维的过程。“自然概念课程”是上面两个方面的结合，重点是在“引导学生参加概念定义活动”与此同时引导学生开始与数学相关的学习过程的思维引导学生开始与数学相关的学习过程的思维。老师要离开在及时的过程中加深对概念的理解， “用问题引导活动”和“一对一反思（问题）”。使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果[1]。笔者所在的川大附中实施核心问题概念教学时更是提出：概念教学研究的着眼点，不只在于对文本数学知识意义的理解与掌握，而是在获得对数学概念本质理解和掌握的同时，形成学生在活动体验基础上的学习。笔者在课堂教学实践中采用了核心问题教学“提出问题——解决问题——反思提升——运用反馈四个环节”[2]进行数学概念教学，效果比较显著。

一、立足学生深度体验变革数学概念教学的案例分析

下面笔者就以执教的《函数的单调性》一课为例，探讨高中数学课堂如何立足学生深度体验，让数学概念的形成水到渠成。

（一）贴近生活的核心问题是促进学生理解数学概念的基石

在本节的课程中，学生将必须要使用温度变化图表和股价图表，假设存在许多有关实际的数据来看出如何变化的示例。根据生活经验，学生就可以从函数角度快速进入对于“图像”的描述，温度变化图、股票价格走势图等例子反映的就是函数值随自变量的变化在变大还是变小，学生对中学此功能的性质有所了解，但没有严格意义上的定义。现在需要一个关键问题来动员和激发学生进行更多的自我探索的热情。老师在这个理解的前提下应该给出关键性问题：画一幅函数的图并用符号语言简述自变量以解释函数值的增减规律。针对核心问题的前半节：请任画一个函数图象，学生都自主探究，学生能够亲身经历就有了体臆，就会引起感觉，就达到了体臆的最低层次：经历。

针对核心问题的后半节：使用符号语言来描述函数的增减规律，以及自变量的变化。如何将图形特征转换为自然语言并将自然语言转换为数学符号语言是学生要首要解决的客观性问题，在教学过程中，学生可以充分体验从特殊到一般，从具体到抽象的过程。在这种学习的基础上摘要增（减）函数的本义，让学生真正体会到三种语言在转化中的关联并进行深层次体臆，从而为学生形成知识方法的表象特征打下了坚实的基石。

这种情况下的关键问题是“笔者将通过编写函数图像并使用符号语言表现出值由着自变量变化来说明函数值的增加和减少”。争取让学生知道函数单调性的这个概念，从此处去了解其该如何进行定义，如何开始研究新的课题，学生对概念的深度体臆就是靠学生亲身在情境中感受、践行的过程，那么，就要一个主线引领学生去践行，从上面核心问题的定义与表达要求，完成核心问题的过程就是学生体臆的过程，同时，更为重要的是，本节课的核心问题前后两节是相互关联的，学生完成核心问题的过程就是进行关联体臆的过程，亲身体臆知识发展轨迹的过程。

（二）真实丰富的深度体验是促进学生理解数学概念的催化剂

在理解了核心问题之后，大多数学生都能作图一次、二次、反比例、分段函数，能作出这些类型的函数：

在绘图过程中，学生可以了解图形趋势中的单调特征以形成视觉效果和视觉模拟，并且教师可以通过向学生展示图片并及时提供丰富的感官材料来使图形语言体现函数单调性概念。函数组成的概念是一种间接的方式，可以直观地通过识别图像中函数的组成，然后也可以以自然语言（文本语言）表达对函数组成的概念的理解，与此同时也从侧面提供了确定函数单调性的方式

图像法。

在这个过程中，大多数学生能够用最直接浅显的语言：“从左向右看，如果函数f（x）在某个区间上图象上升，则称函数f（x）在该区间上为增函数;如果函数f（x）在某个区间上图象下降，则称函数f（x）在该区间上为减函数”，或者“从左向右，若图象成上升趋势，则称函数为增函数;如果图像从左到右显示下降趋势，则此函数称为“递减函数”，用这个来说明对该函数的增加和减少的理解。

数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要。在课堂中笔者再结合具体函数比如f（x）

x，x≥O= 1/x，x<0及其图象，尝试用数学的图形语言、文字语言、符号语言逐一描述函数在哪个区间为增函数或减函数？对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到“从左向右看”的本质是自变量增大，图象“上升”或“下降”的本质是函数值变大或者变小，从而函数单调性的本质在于函数值和自变量之间保持相同或者相反的大小变化关系。学生用数学符号语言描述图形语言、文字语言，形成对具体函数单调性的符号语言上的认识，迈出了对函数单调性本质认识的关键一步。

在指导学生进行有关单调函数概念理解的活动时，作者主要抱着“使学生积极参与概念活动中”和“不轻易干扰学生的思想和活动”以及及时性和课程性的概念。对此，在“问题（质疑）一对一反思”课程中，逐步进行的“问题指导活动”加深了学生对“单调函数”概念的理解。使“概念理解”成为学生自己主动。

经过这个过程，学生不仅对所探究的函数单调性的来源、成长过程与成长方法、本质与结构等有着透彻的认识，饱含情感的深度体验更是成为促进学生理解数学概念化的催化剂。课堂上思维的碰撞，不仅是师生之间、生生之间智慧的交锋，更是师生、生生之间情感的沟通，达成了课堂“产生情感而生成意义”的教学目标，进一步促进了学生心灵的深度体验。

（三）层层深入的反思提升是促进学生概括概念本质的升华

在反思和改进的过程中，学生探索了函数特定功能的基本特征，作者指导他们回顾学习过程，要求学生从性质的定义转换为含义，并提供对递增功能的准确定义（符号语言）。然后抽象得出一个类比也就是减函数的含义。由于了解特定功能的定义，学生可以轻松达到单调的一般定义。

对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2），称f（x）为该区间上的减函数。至此，学生经历了由特殊到一般、由具体到抽象，最后归纳出单调性函数的定义的过程，并生成了对抽象函数单调性的符号语言上的认识。

同时，教师还要适时适切地引导学生概括出知识中蕴含的思想方法和探究知识的思维方法：①函数的图形语言、文字语言、符号语言的等价转化;②特殊到一般的思想方;③直观到抽象;④数形结合;⑤类比等。笔者根据学生具体情况，通过符号语言的转化，促进学生对函数单调性的深度体验（差商理解）。用差商y2-y1/x2-x1 >0描述“x1

商差结果不但能够用来判别函数的增加或减少，还可以反映丁对与百分比的变化率。这种处理办法还具有着一目了然的几何意义，为早期了解导数开辟了道路。

这样让学生既形成了数学概念的知识，又形成了数学概念的思想方法，将核心问题解决问题中涉及的关联体验进一步提升，这样本节课又上升了一个层次，上升到形——数——形的关联，体验三种语言间的关联，层层深入的反思提升促进了学生对概念本质的理解与升华，这就形成了数学概念教学的核心：以常见和丰富的例子为载体，打开数学家对数学概念的关注，观察和分析每种情况的性质，整理和总结共同的基本性质，并指导学生独立总结出数学的概念。

（四）高效精准的运用反馈是促进学生体验概念关联的内化

在运用反馈环节，学生经历了数学概念的生成过程，还需要对数学概念的理解进行内化，笔者在运用反馈环节中侧重检测学生深度体验图形语言、自然语言及符号语言在相互转化中的关联情况。笔者选取了生活中的应用案例进行课堂检测：

某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为y=x/50 +162x- 21000，请画出图象观察，并描述月收益随月租金的增加的变化情况？并用定义证明之。学生将自己探究出的数学知识与方法解决来实例，让学生将三种语言在转化中的关联应用，反思解题思路，再次深度体验到定义证明函数性单调性的步骤。高效精准的运用反馈促进学生体验概念关联的内化，学生不仅实现了目标的达成，最终内化成自己的数学知识方法，逐渐形成了学生内在的缄默知识，也为以后探究函数的其他性质做好了铺垫。

这一环节实际上是辨析、运用、“精致”函数单调性的概念：一种是分析概念 就是使用示例作为参数来研究关键字的含义，另一种是整合和应用概念集成到概念系统中并与相关概念连接。

二、立足学生深度体验变革数学概念教学的

案例反思

李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”课堂结束后，笔者认真反思了课堂教学，并认为数学概念解决了实际问题，并且还认为有必要发展数学本身。但是，这个概念非常难以理解，导致了学生应该进行实际的学习活动去了解概念，从自己经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”活动过程[1]。结合本节课的核心问题数学，笔者还认识到：数学概念教学促进学生深度体验的实质就是理解数学、理解学生、理解教学，它是一个多侧面、多层次、无止境过程。

首先，了解数学意味着对数学知识的来源、成长的过程以及所教数学的性质和结构有透彻的了解。换句话说，要理解数学知识，得使用“核心问题教育”来提高数学精髓，例如“怎么来和去哪里”，知道本质，结构和教育价值和自身对于数学的理解。将静态的，成熟的和不利的学生转变为能接受和容易消化的数学学术形式，将其转变为动态的，发展的，更有营养的，营养丰富的数学教育形式。

其次，理解學生是指教师清楚学生的认知起点;清楚学生已有认知结构与新知识之间的潜在距离;清楚学生的认知障碍;清楚学生的认知规律;清楚不同学生间的认知差异。以核心问题教学促进理解学生的实质是教师准确地把握学生学习的基础、潜能、需求、困难与差异，为以学定教、以导促研提供准确的信息与依据。

最后，了解教育将使教师了解数学的性质和功能，掌握特定的教学方法和教育艺术，了解学生的认知规律和基本教学原理，并将教育和学习视为一个有机的，相互加强的整体。这意味着数学教育的价值可以为不同的学生提供不同的数学。清楚将不同类型的知识用不同的方式呈现给不同学生的策略与方法。以核心问题教学促进理解教学的实质是以研定导，以导促研，实现教育价值与效益的最大化。

参考文献

[1]张峰.浅谈新课标下的高中数学概念教学[J].江苏第二师范学院学报：自然科学版，2010，（4）：59 -60.

[2]周光岑，核心问题教学研究[M].成都：电子科技大学出版社，2009.

[3]周文良.核心问题教学中的学生深度体验研究[M].成都：电子科技大学出版社，2017.