排列组合的一种经典方法—“隔板法”

刘晓红

摘 要：”隔板法”就是在n个相同元素间的（n-1）个空中插入个m个板，把n个相同元素分成不同的（m+1）组的方法.应用”隔板法”解题，必须至少满足两个基本条件：（1）这n个元素必须相同（2）所分成的每一组中至少有一个元素（即：至少一个）”隔板法”常用于相同元素的分配问题，常见的有投球进盒、名额或指标的分配、不定方程的整数解问题。

关键词：高中数学;同素分配问题;隔板法;化归思想。

有关名额分配或同素分配问题常用隔板法，我就此做了总结了三种题型，现介绍给大家.

【隔板法】有n个完全相同的元素，投放到m个不同的地方或分配给m个人，每个地方或每个人至少分得一个元素，则可投放的方法个数为

【隔板法使用的条件】：标准型（1）n个待分配元素完全相同，只看数量（2）m个分配地方不同（3）每个地方至少得一个元素（4）每次分配完所有元素

1.“至少一個名额”型

例1、将10个相同的橘子随机发给幼儿园的四个小朋友，则每个小朋友至少发一个的不同发法有多少种？（ ）

（A）72 （B）84 （C）96 （D）108

分析用“o”表示橘子，将10个橘子放置如下：

oooooooooo

图1

这10个橘子中间产生9个“空”，从这9个“空”中选出3个插人3块“隔板”，事先约定：隔板分成的4份个数，从左到右依次给1至4个小朋友.

ooloooloooolo图2

我们知道，从9个“空”任取3个插人3块“隔板”，共有种方法.又每一种插法都对应着一种发法.

2：隔板法进阶1：每组大于1

例2某单位13个外出培训名额，现分配下面的5个下属单位，每个下属单位至少2个名额，试问共有多少种不同的分配方案？

分析创设“隔板”情境：每个下属单位至少2个名额.为此，我们先给每个下属单位分配1个名额，此时原题就转化为：“将8个培训名额分配到5个下属单位，每个单位至少1个名额，试问共有多少种不同的分配方案？”，仿照例1，可知共有种不同的分配方案.

例3将16个相同的小球法人编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，则不同的放法共有多少种？

解：先分析如下：先在2号盒子内放人1个小球，在3号盒子内放人2个小球，在4号盒子内放人3个小球，则共用去6个小球还剩下10个小球，此时原题可转化为：“将10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的三个盒子中，每个盒子中至少1个小球，不同的放法共有多少种？”，根据隔板法的标准型公式可知共有种不同的放法.所以我们可以先把每组大于1个的名额分配问题，有意识地创设成“至少一个名额”的标准型，就可以利用标准型的公式去解了.

3.“允许没有名额”型

例4变式3若将10只相同的小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，允许有些盒子没分到0个球的不同投放方法有（ ）

分析应注意有盒子可以为空，要创设“隔板”标准型情境，必须每个盒子至少1个名额.为此，我们先给盒子借一个球，把原题意转化为：“将14个相同的小球分配到不同的四个盒子中，每个盒子至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？”。由公式可知共有种不同的分配方案.

如下图;o表示借的球：则l盒子4个名额，2盒子0个名额，3盒子1名额4盒子5个名额.注意：这里，每个盒子中都有一个“借”的名额，应去掉.此图说明如果允许没有名额，我们可以先给其借上一个“假”的名额，这样，我们就有意识地创设了“至少一个名额”的标准型隔板情境。

例5方程x+y+z=10有多少组正整数解（）

A.72 B.66 C.36 D.108

分析本题可转化为：“将10个1并排排列，用3个隔板来隔开，第一个隔板前的1的个数为X值.第1个隔板与第二个隔板之间的1的个数为Y的值，第二个隔板之后1的个数为Z的值。所以共有组整数解

例6丽丽有8张相同的练字卡片，每天至少写一张或多张且必须为整数张，直到写完才可以进入下一级的练习，她共有多少种不同的练习方法？

分析：

分成8类，第一类，丽丽1天全部写完，1种方法;第二类，丽丽恰好2天全部写完，可把题意转化为“把8个名额分配给2人，每人至少1个名额”，共有种不同的分法;第3类，丽丽恰好3天全部写完，类似地，共有种不同的分法...;第八类，丽丽恰好8天全部写完，共有种不同的分法.故共有种不同的写法.

结束语：隔板法是解决有关名额分配相同元素分组问题的经典方法，其思维巧妙，方法奇特新颖.认真领会文中的三种典型题型，可以举一反三，触类旁通，使“山重水复疑无路”的问题就可以“柳暗花明又一村”了，我们众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。总之：提高数学素养的根本就是明白数学思维的本质，就像不识庐山真面目，只缘身在此山中。切记：把高雅的脑力劳动，俗化为简单的体力劳动。

参考文献

[1].隔板法解组合计数问题[J].肖乐农，肖万利.  中学数学教学.1992（03）

[2]巧用隔板法解题[J].杨玉凤.  中学教学参考.2012（14）

[3]运用“隔板法”巧解题[J].林利芹.  数理化解题研究（高中版）.2013（06）