APOS理论下的数学概念教学

陆玉秀

摘 要：对数作为一个重要的数学概念，是高中代数学习的起点，是学生必须要掌握的基础知识。但对数概念较为抽象，对数符号不易理解且运算复杂，学生在学习对数概念时存在一定困难。因此，在对数教学时，可以以APOS理论为依据，设计以下四个教学阶段：创设情境，引入对数概念;展示过程，内化对数概念;构造对象，把握运算性质;建立图式，形成概念体系。

关键词：APOS理论;概念教学;对数

1.引言

上世纪60年代美国教育家杜宾斯基等人提出APOS理论从活动、过程、对象和图式4个阶段体现了形成数学概念的思维过程[1]：“活动阶段”指学习者通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程，是获得数学概念的一个必要环节。“过程阶段”指学习者对前面活动的进一步思考过程。学生经过思维的内化、整合和压缩使其成为相应的过程模式，最终抽象出数学概念的本质特征。“对象阶段”指学习者对前面两个阶段的活动进行深入思考，概括数学概念的本质属性，形成可供心理操作的数学对象。“图式阶段”指学习者将之前的“活动”、“过程”、“对象”以及与之相关的其他数学概念进行整合，最终形成丰富稳定的心理图式[2]。

苏教版数学课本中，对数内容安排在必修1的第三章指数函数之后，对数函数之前，起到了承上启下的作用。教材先通过生活实例引起学生学习对数概念的兴趣，引导学生自主探究对数概念，接着将对数概念在多种问题情境中运用，最后使学生形成完整的心理图式，与APOS理论的四个阶段相遥相呼应。因此，将APOS理论应用于对数概念的教学是可行的。

2.基于APOS理论的对数概念教学设计

2.1创设情境，引入对数概念

情境1：某放射性物质不断变化为其他物质，每过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%（设初始质量为1）你能就此情境设计一个数学问题吗？

问题1：2b=3这样的指数b有没有呢，b是唯一的吗？

活动阶段，教师通过具体情境引发学生思考，通过对数据，指数函数与一次函数图像的交点使学生直观认识到对数符号产生的合理性。学生在这样的探究式教学方式下，体验像数学家一样去研究问题的过程，充分地调动了他们的学习积极性。

此外，学生在发现问题、解决问题的过程中，可以通过与根式的类比，感受到突破运算困境的途径是创造出一个新的符号，体验对数符号产生的必要性。同时，在活动过程中，教师通过对学生课堂表现的观察，了解到学生的知识接受程度，适时把控教学进程，为概念的产生做好铺垫。

2.2展示过程，内化对数概念

问题2：对于任意的指数式（a>0且a≠1）你能表示这里的指数b吗？

问题3：在与logaN=b中字母a，b，N的名称发生了怎样的变化？它们的范围相同吗？

过程阶段，利用活动阶段的铺垫，引导学生先自行探究对数定义，随后教师自然地呈现对数概念。再通过师生问答，深化学生对对数概念的理解，从文字语言和符号语言多方位认识对数概念的本质属性。接着利用新旧知对比，将对数与指数结合，让学生体会转化与化归的思想方法，内化对数概念。

2.3构造对象，应用对数概念

问题4：请大家自编3到5个对数式，互相交流，是否可以求出这些对数值？

问题5：请同学们思考N取一些特殊值时，你发现了什么规律？

练习1：指数与对数式互化。

（1）24=16（2）（3）

练习2：求下列各式的值。

（1）（2）（3）

情境2：当N=1时，loga1=0;当N=a时，logaa=1;当N=ab时，logaab=b。同样，当a取两个特殊值时，我们会赋予这两种对数一些特殊的名称：a=10时，log10N简记为lgN，通常称为常用对数;a=e时，logeN简记为lnN，稱为自然对数。

对数是由17世纪苏格兰的数学家纳皮尔发明的。纳皮尔对数发表后，惊动了伦敦的数学家布里格斯，他去拜访纳皮尔，在交谈中提出了改进意见：为方便计算，建议1的对数为0，10的对数为1，100的对数为2，这就是常用对数的产生。为什么要以e为底？他发现以形如的数为底最便于计算，真数以等比数列递增时，对数也以等差数列递增。由此得到自然对数之底，它是一个近似为2.71828的无理数。

对象阶段，通过练习进一步加深学生对对数概念的理解，即对数是一个符号，对数运算过程本质上是方程运算，在知识应用的过程中助力学生思维能力的提升。引入对数的发明史，丰富学生的认知图式，帮助学生多角度多方位理解对数概念，从数学文化的角度提升学生的数学素养。

2.4建立图式，形成概念体系

问题6：本节课你学习了哪些关于对数的知识？有什么启发，想继续研究哪些问题？

图式阶段，通过课堂回顾及，学生了解到对数是一个具体的实数，对数的本质是一种求未知数的运算，对数概念有了完整的认识。同时学生在总结、感悟、交流中，感悟数学来源于生活又服务于生活，有创造才能与发展的道理，形成回顾反思的习惯。在自我评价中体验成功的快乐，增强自信。

总结：此外，APOS理论思维同样可以应用于教材的编写：对真实情境进行操作→过程抽象→形成知识对象→运用知识形成图式→与相关知识联系形成新的知识图式。这样的呈现方式便于学生的掌握、记忆、运用知识，形成认知结构。

《义务教育数学课程标准（2011）版》强调了应用意识在数学课堂教学中的重要性。因此，为了使学生在数学概念学习中获得积极的情感体验，教师在教学中要重视概念应用，将学生培养成具有应用意识和创造力的新型人才。

参考文献

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]吴华，周鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究——以导数概念为例[J].数学教育学报，2013，22（02）：87-90.

[3]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育报报，2007（02）：48-50.