一类高考数列压轴题的新解法

徐哲坚

摘 要：用函数的观点来看数列的递推公式an+1=f（an），将数列这样的离散变量转化为连续变量来研究，从而将数列特征的判断转化为函数性质的研究，进而引进单调性，值域，导函数等函数的性质和工具解决一类高考数列压轴题.

关键词：函数思想;数列;高考压轴题

在函数思想下，数列的通项公式an=f（n）可以看成是定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，…，n}的函数;数列的递推公式an+1=f（an）同样可以看成是定义域为{ak|k∈N*}或{ak|k∈1，2，…，n}的函数.从而，函数中的方法和工具也可以用来解决数列问题.

下面主要来讨论函数思想在高考数列压轴题中的应用.

例1（2011年高考重庆卷理，21）设实数数列{an}的前n项和Sn，满足.

（I）略;

（II）求证：对有.

分析：由，得递推公式.令，易得，其中sup表示集合的上确界，inf表示集合的下确界，本文中的上下确界都可以用上下界取代.因此函数的值域可以用来估计数列{an}的上下界.

证明：由，得，即.

又因，有.

令，由判别式法知f（x）的值域为.

由，得（k≥2）

又因为，即得对任意k≥3，有，结论得证.

点评：从例1的证明过程中，可以发现结论（II）对任意的k≥2都成立.

用函数的观点来看数列的递推公式，用对应函数的值域估计数列的上下界是解法的关键.实际上，从第二项开始，数列中的项所构成的集合是对应函数值域的一个子集.直接用函数值域的最值作为数列的上下界在某些题目中并不是一个理想的估计.但在例1中，对应函数的最值恰好与要证的上下界一致.

例2（2012年高考安徽卷理，21）数列{xn}满足x1=0，.

（I）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;

（II）求c的取值范围，使{xn}是递增数列.

分析：数列{xn}的递推公式显然对应一个一元二次函数.由例2归纳法的证明过程知，数列{xn}单调递增的充要条件为：x1≤x2，且y=f（x）在上单调递增.

证明：（I）略;

（II）由（I）知，若{xn}是递增数列，c≥0.当c=0时，显然xn=0，{xn}为常数列.令，由二次函数的性质知.又由和，得.因为，显然.由例2中的归纳过程可知{xn}是递增数列的充要条件是：f（x）在上单调递增，即.解得.

点评：首先注意到问题（II）中要求的c的范围是使{xn}是递增数列的充要条件.因为本题中数列的递推公式是一个二次函数，可知数列{xn}单调递增的充要条件为x1≤x2，且y=f（x）在区间上单调递增.从而将数列的单调性问题转换为二次函数的单调性讨论，而二次函数的单调性和最值问题都是我们非常熟悉的内容.

实际上用函数的观点来看数列的递推公式an+1=f（an），最大的优点就是能将数列这样的离散型变量转化为连续型变量来研究.而连续型变量，特别是初等函数，在高中数学中已经俱有相当完备的理论体系，从而简化了构造的难度，使解题思路更为开阔.

参考文献

[1]中学数学课程教材研究开发中心.高中数学（必修1）.人教A版.北京：人民教育出版社，2007

[2]天利全国高考命題研究中心.2011全国各省市高考试题汇编全解.西藏：西藏人民出版社，2011