数学核心素养水平在高考中的考查及教学启示

胡录生

【摘要】数学核心素养水平的科学考查是实现数学育人价值的关键举措，高考试题对核心素养的考查是引领核心素养落实的重要环节。本文基于高考试题从“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”四个方面对核心素养水平的考查进行案例分析并提出四个方面的教学启示，为一线数学教师在教学实践中落实数学核心素养水平的考查提供思路。

【关键词】数学核心素养；高考试题；核心素养水平；考查；教学启示

一、问题的提出

2019年高考数学全国I卷是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”）颁布后第二年的高考卷，试题强化了数学的育人功能、价值导向与教学引领作用，突出了新高考改革所倡导的突出独立思考、逻辑推理、信息加工、数学应用、数学阅读、语言表达和文字写作等关键能力及核心素养水平的考查。那么，高考试题如何考查学生数学核心素养水平？如何评价学生核心素养水平的达成？如何落实学生数学核心素养的培养？本文基于2019年高考数学全国I卷理科试题的案例分析，谈谈高考实践中如何考查学生数学核心素养水平，并提出落实核心素养培养的若干教学启示。

二、案例分析

“课标”明确提出了“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”六大数学学科核心素养。“课标”同时对每个核心素养划分为分3个水平：高中毕业要求（水平一），高考要求（水平二），大学自主招生参考（水平三），每一个核心素养水平都从“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”4个方面进行了具体描述。下面以2019年高考数学全国I卷理科试题为例分析每个数学核心素养的考查水平。实际上每道试题都发挥了考查多个核心素养的功能，本文每个案例分析试题重点考查的一个核心素养。

1.数学抽象

数学抽象是在各种情境中对数量关系和空间形式抽象出数学概念、命题，并用数学语言予以表述的素养，是形成理性思维的重要基础。数学抽象的行为表现为：从情景或条件中抽象数学概念和规则，提出数学问题，建立数学模型，提炼和掌握数学方法，领悟数学结构体系。

案例1 ：（2019年数学全国I卷理科第4题）

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底

的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190cm

本题以著名雕塑“断臂维纳斯”为背景，提出最美人体黄金分割比例问题，结合世界优秀数学文化，将美育融入数学教育（情境与问题），考查黄金分割比例，不等式及估算法知识，将相等关系转化为不等关系来解决为题的能力（知识与技能）。

思维与表达：如图1，从“断臂维纳斯”情境中抽象概念和规则：头顶到咽喉的距离小于头顶至脖子下端的距离26cm，即AB<26，肚脐到足底的距离大于腿长105cm，即CD>105。

图1

用数学语言表达概念：设该人的身高为xcm，由得，所以，。由，得，所以，，又由，得 ，所以，。提炼出解决问题的数学方法：某人身高满足不等式。

学生完整解出此题，需要达到数学抽象素养水平二的要求，即能够在关联的情境中抽象出“不等式”这个数学概念，并在新的情境中运用黄金分割比例和估算法估算出该人身高。此题还考查了学生的逻辑推理素养。

2.逻辑推理

逻辑推理是指学生依据一些事实、条件和命题，通过逻辑关系，推出其他命题和结论的素养，它是数学逻辑严密的基本保障。逻辑推理素养的行为表现为：掌握推理的规则和基本形式，发现问题和提出命题，合理表述论证过程，合符逻辑地表达与交流等。

案例2：（2019年高考数学全国I卷理科第20题）

已知函数，为的导数.证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点

本题以正弦函数和对数函数为载体，证明函数存在极值点和零点个数得问题（情境与问题），考查函数单调性、零点、极值点的概念，学生运用导数方法判断函数的单调性，实现对问题中极值点、零点的个数的判断（知识与技能）。

思维与表达：第1问中，先求导得，观察发现，这是三角函数与幂函数的复合解析式，较难判断的正负，需要提出新的命题：，令，当时，单调递减，发现问题：，可知在有唯一零点，提出新方案解决“存在但求不出值”的问题，可设该零点为，则当时， ；当时，.推出结论：在 上为增函数，在上为减函数，所以在上有且只有一个极大值點。第2问可作同样的分析。

通过解答此题的过程，能有效地考查学生是否达到了逻辑推理素养水平三的目标。即学生面对陌生的解析式的综合情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象如，对于新的数学问题如函数的单调性和函数的值正负的判断，提出不同的假设前提：， 及，从而推断出结论。对于学生来说，代数证明的抽象性和逻辑性往往高于几何证明，本题设置的函数解析式具有创新性，能进一步考查学生的数学理性思维的自信、敢于挑战的勇气和坚强的意志品质。

3.数学建模

数学建模是指学生能在各种情境中，发现问题，从数学角度构建有效模型，用数学方法计算求解模型，从而解决问题的素养，它是数学应用的重要形式。主要表现为：发现数量关系或空间联系，建立数学模型，分析求解模型，解释问题，提出方案。

案例3：（2019年高考数学全国I卷理科第10题）

已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点。若，则C的方程为（ ）

图2

此题以学生熟悉的椭圆为数学情境，提出求解椭圆标准方程问题，即求（情境与问题），考查椭圆的定义、焦点三角形， 的关系。学生通过定义，发现焦点三角形中相关线段的等量关系，利用余弦定理建立数学模型（知识与技能）。

思维与表达：如图2，寻找椭圆中的关系，分析线段之间的关系及椭圆的定义，可知

得。

构建数学模型：在和中，有两个关联条件与结论的量和角B，由余弦定理得：

数学模型是连接数学内部数量关系与几何关系的“桥梁”，使数学理性思维和现实物化世界产生了本质联系。本题中，学生在熟悉的情境中利用余弦定理，建立三角形各边等量关系模型，求出 ，可以认为学生达到了数学建模素养水平二。今年高考卷还有其他考查数学建模素养的试题如第6题，根据《周易》中的“卦”建立古典概型，第15题中由甲、乙两支篮球队比赛结果联系独立事件概率模型，第21题给出了甲、乙两种新药的药效评测模型。本题还考查了学生的数学运算素养。

4.直观想象

直观想象是指学生通过几何直观和空间想象发现事物的本质联系，利用数形结合方法探索事物的数学结构，建立数与形的联系解决问题的素养，它是进行数学演绎与推理、构建抽象结构的思维基础。直观想象素养的表现为：发现形数关系，通过几何直观理解问题，运用图形描述问题，利用想象认识事物。

案例4 （2019年高考数学全国I卷理科第12题）

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 （ ）

A. B.

C. D.

图3

本题以三棱锥为背景，球外接三棱锥为纽带，提出求球的体积问题（情景与问题），考查正三棱锥和长方体外接球的体积及球的半径与几何体棱长的关系、线面垂直的判定定理，学生运用空间想象能力，发现线面垂直关系，推断、求出正方体外接球的半径（知识与技能）。

思维与表达：如图3，由数量等式建立图形关系，由及为正三角形等数量关系，构建直观模型为正三棱锥，根据和为等腰三角形，取AC的中点G，连接PG，BG推导出平面PBG，从而，所以平面PAC。由此发现正三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC互相垂直，构建新的直观模型：正方体的外接球，利用数形结合方法求出，故球的体积为。

解答此题时，学生需要构建几何图形：正三棱锥，通过研究数量和图形的关系如，发现数学问题：平面PAC和正三棱锥的三条侧棱两两垂直，直观想象出熟悉的几何模型：正方体及其外接球。此时，学生达到了直观想象水平二的要求。按上述方法完成此题，说明学生形成了数形结合的思想，拥有较强的空间想象能力和几何推理能力。

5.数学运算

数学运算是学生在各种情景中，理解运算对象，根据运算法则，选择程序和方法，进行化简、求值，实现问题解决的素养，它是解决数学问题，求得结果的基本手段。数学运算素养的行为表现为：明了运算的对象，掌握运算的方法，根据一定规则设计运算程序，得到结果或数学模型。

案例5（2019年高考数学全国I卷理科第16题）

已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，则C的离心率为_____.

图4

此题以双曲线为载体，由两个向量等式确定问题：求双曲线的离心率（情境与问题），考查双曲线的渐近线方程、离心率、 的关系及向量相等、数量积等知识，学生运用数形结合思想，将两个向量式转化为坐标表示，求出 点的坐标，获得的关系式，通过字母运算求出离心率（知识与技能）。

思维与表达：如图4，明晰运算对象B点坐标和，探究运算思路，用向量法将向量式化为坐标形式，也可用几何法将向量式转化为点A是F1B的中点，，设计运算程序：设点或由方程组求出点。这里不妨设点，故，，由可得m=a故。由 得，代入直线方程得，解得c=2a，故离心率为2。

此题解答时，学生在综合情境中确定了合适的运算对象：B点坐标和，构造有效的运算程序：由求得和由求的通过点A在直线上获得，进行简便的字母运算解决问题。 此题若要求学生呈现解题过程，我们根据学生选择的运算对象和设计的运算程序，可以有效地考查他们的运算素养水平。如上述简便的运算过程，能反映出水平三层次的数学运算素养。由此说明，数学运算是解决问题的手段，思维的角度才是运算准确、简便的关键，理性思维的深度和广度是学生应该拥有的核心数学品质。

6.数据分析

数据分析是指学生以现实事物为研究对象，有效获取数据，运用概率统计方法，分析数据，形成认识，构建数学模型，科学推断、预测和决策的素养，它是研究随机现象的重要数学技术。数据分析的重要表现为：原始数据的收集和整理，大數据的理解和分析，新结论的推断和解释。

案例6：（2019年高考数学全国I卷理科第21题）

本案例仅就该题第2问对数据分析素养水平的考查作一个详细分析，原题目请读者参阅2019年数学全国I卷理科第21题。

本题以甲、乙两种新药的药效评测试验为背景，通过概率、统计与数列的综合应用，提出药效试验模型的证明和检验问题（情境与问题）。考查随机事件分布列、概率、统计与等比数列等重要内容。学生通过阅读材料，分析甲药得分数据，求出分布列。提取甲药药效试验的概率模型信息，运用数列递推关系，证明等比数列，由等比数列模型求出 的值，以此来解释试验方案的合理性，对现实问题作出科学判断（知识与技能）。

思维与表达：第2问中，阅读并整理数据a=0.4，b=0.5，c=0.1，提取信息，利用数（下转第43版）（上接第42版）列的递推关系化归为新的数据模型：，从而证明数列 是等比数列。进行定量的分析，由，因联想模型，得到，进一步求得。

交流与反思：P4表示最终认为甲药更有效的概率，当甲、乙两药的治愈率分别为，时，在的现实情况下，认为乙药更有效，由数据说明“认为甲药更有效的概率”非常小，此时得出“甲药更有效”这样的错误结论的概率非常小，可以推断这种试验方案合理。本题充分体现了数学的应用性和试题的创新性以及数学知识解决现实问题的意义与价值。教学实践中遇到类似问题：已知数列满足，证明数列为等比数列，学生会质疑证明这么复杂的命题有何意义？本题给出了回应。

本题是在科学试验情境下，提出数学应用性的随机问题，学生需运用概率统计和数列的知识，构造概率模型，充分理解数据的含义，解释代表的现实意义，从而作出“这种试验方案合理”的决策。学生完成此题，可以认为达到了数据分析素养水平三的要求。

三、教学启示

学生数学核心素养的达成是螺旋式上升的，对其水平的考查更是一种定性分析与定量统计相结合的艰巨工作，目前还没有明确的细化标准，但上述对高考试题考查学生数学核心素养水平的分析，让我们获得如下几个方面的教学启示。

1.聚焦核心概念和通性通法，促进核心素养的形成。数学概念蕴含着事物的数量关系与空间结构，数学核心素养生长的沃土。核心素养总是伴随着数学概念和思想方法的习得过程中逐步形成的。如讲授《椭圆及其标准方程》时，可将多种素养交融其中。教师要设计情境，引导学生操作探究动点的轨迹，抽象出椭圆定义，描述动点满足的条件，建立条件关系式，推导与化简方程，构建简洁、优美的方程模型，进行几何直观作图。

2.揭示数学问题的本质，强化核心素养品质的培养。教学实践中应引导学生发现问题的本质，指导学生运用理性思维拨开情景的迷雾，挖掘问题的数学主干知识，寻求数学方法，多角度地解决问题。学生的核心素养一定是在问题的解决中前行，素养的品质在探索数学本质中凝聚！如学习“回归方程”时，教师首先提出“脂肪含量与年龄的关系”等问题，其次揭示其本质就是求拟合直线方程，再次提升统计的思维、抽象能力和运算能力，最后激发数学自信和不畏艰难、敢于挑战的数学精神。

3.樹立教学实践的系统观，推进核心素养的整体发展。六个核心素养在学生的数学学习与活动中互相交融与整体发展的。这就需要教师的教学实践站在知识系统的整体高度来实施，在每一个概念、定义、公式和定理的教学中，在教学的每个环节和每个数学活动中，都要从整体上提升多个核心素养及其不同水平。我们可以教材为基础，站在函数体系的整体高度，对教材中关联性内容进行整合、重组，实现整体大于局部之和的教学效果。例如，对《三角函数》一章进行基于核心素养的单元教学设计：我们可以重组交融，在概念系统中提升数学抽象和理性思维；在图像变换中增强直观想象和数学感知能力；在性质体系中发展数学运算、逻辑推理和变换能力；在模型结构中提高数学建模、数据分析及应用能力；在阅读材料中沉淀数学文化和鉴赏水平。我们可以纵横拓展，从纵向的思想性如函数与方程、数形结合、分类讨论、有限无限等数学思想的提升到横向的综合性如与其他函数、方程、集合、向量等知识综合能力的培养。学生在这种单元教学理念的指导下，通过“四基”学习活动，发展“四能”，培育“六大素养”，提升数学个性品质。

4.重视评价体系的设计，助力核心素养水平的考查。学生的核心素养能否有效达成，关键在于日常教学的过程评价、学业水平考试和终极的高考测评。教师要明晰核心素养的内涵，清晰解读每个素养的主要表现，对学生学习中展示的主要表现，应善于观察，给予精确的评价和激励。日常教学中的每个教学内容、每一节课、每个环节、每一道题都要有明确的核心素养培养目标和考查水平。数学活动和各类试题的设计要充分考虑六个核心素养的分布比列，给出每个核心素养的考查水平细目表和评分标准，并尝试提出相应的数学情感、数学文化、数学创新和数学意志品质指标。

参考文献：

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