从一道数学题的解法看我们如何跟着数学一起成长

张建军

【摘要】二次函数是初中数学的重点和难点，是初、高中知识衔接的一个重要知识点。因此，也是中考的一个重点考查内容。本文试着从初中到高中，再到大学知识的方法，通过对该题的不同解法的分析，体验数学在我们成长的不同阶段，给我们带来的不同感受。

【关键词】二次函数；三角形面积；最大值；行列式

笔者有幸参加了一次面向初中生的自主招生考试的阅卷工作，其中一道“压轴题”引起了笔者的兴趣。题目是这样的：已知二次函数的图像和x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，和y轴的交点是C（0，-4）。点P是二次函数图像上位于直线BC下方的一点。如图一所示。

图一

（1）求该二次函数的解析式。

（2）是否存在点P，使得是以 OC为底边的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由。

（3）当点P在何位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和面积的最大值。

题目的第（1）问，是考查学生用“待定系数法”求二次函数解析式，难度不大，有不少学生做出来了。

在初中数学中，二次函数的解析式常用的有三种表达方式，即一般式、顶点式和交点式（两根式）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.显然这一问用“顶点式”就不合适了，用“一般式”和“交点式（两根式）”这两种方法应该都可以，不妨都来尝试一下。

方法一：设二次函数的解析式为.

将A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三个点的坐标代入，可得解之得

∴二次函数的解析式为

方法二：由于二次函数的图像和x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，因此可设二次函数的解析式为.

将C（0，-4）点坐标代入，得a=1.

∴二次函数的解析式为y=x2-3x-4

对比这两种方法，不难看出方法二更简洁一些。我们在阅卷过程中发现，这两种方法都有学生使用。

题目的第（2）问，是考查等腰三角形的性质。到线段OC的两个端点距离相等的点应该在线段OC的垂直平分线上，所以点P应该是线段OC的垂直平分线与抛物线的交点。解法如下：

作线段OC的垂直平分线DP，交线段 OC于点D，交直线BC下方的抛物线于点P.如图二所示。

图二

∵PO=PC，则点P即为满足条件的点。

∵C（0，-4），∴D（0，-2）.故点P的纵坐标为-2。

令解得或（舍去）。

∴存在满足条件的点，其坐标为。

从这一问的解答过程也不难看出，如果题设中没有“点P在直线BC的下方”这一限制条件，则满足条件的点应该有两个，它们的坐标为。

从阅卷的过程来看，这一问的难度比第（1）问的难度稍微大些，但还是有不少学生做出来了。

关于第（3）问，在初中教材里，三角形的面积计算问题当然首先考虑公式（其中a为三角形的底边，h为底邊上的高），同时由于PB和PC这两条边长都不确定，所以其它公式也就可以不用考虑了。但是如果直接应用公式，你就会发现由于没有“垂直”这个条件，“高”很难直接找到。看来只能创造“垂直”，去发现“高”了。

考虑到点P的坐标本身就是与坐标轴“垂直”的两个量，所以可以尝试从点 向坐标轴引“垂线”的方法。

方法一：过点P向x轴作垂线，垂足为 E，交直线BC于点F，如图三。

图三

设点p（x0，y0），其中。则 E（x0，0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直线BC的解析式为y=x-4。

∴F（x0，x0-4）

∴PF=x0-4-y0

将代入，可得

。

∴当x0=2时，S△PBC有最大值8，此时y0=-6。

∴当点P的坐标为（2，-6）时，的面积有最大值，且最大值为8。

从上面的解题思路来看，通过向x轴作垂线，将三角形的面积分割为两个三角形面积的和，从而巧妙地得到了“高”，使问题得以解决，这体现了数学中“转化”的力量。不难看出，第（3）问的难度还是比较大的，在阅卷过程中，我们还是发现了有几个学生也恰恰是用了这种方法得到了正确答案。同时，受方法一的启发，既然“过点 P向x轴作垂线”这种方法可以，那么“过点P向y轴作垂线”也应该可行，不妨也去尝试下。

方法二：过点P向y轴作垂线，垂足为 E，交直线BC于点F，如图四。

图四

设点P（x0，y0），其中.则 E（0，y0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直线BC的 解析式为y=x-4。

∴F（y0+4，y0）

∴FP=x0-y0-4。

以下同方法一。

看来，“过点P向y轴作垂线”的方法也能起到将三角形的面积分割、转化为两个三角形面积“和”的作用，确实也是可行的。

这时，可能有学生会有这样的疑问：如果点P的位置是抛物线上靠近弓形顶部的位置，那么按照方法二的做法，三角形的面积还是转化为两个三角形面积“和”的形式吗？为了一探究竟，我们也去尝试一下，见图五。

图五

此时点F落在线段BC的延长线上，且 E（0，y0），F（y0+4，y0），以及FP=x0-y0-4，仍然成立。

不难看出，此时三角形的面积转化为两个三角形面积的“差”，但结果依然是一样的。

尽管两种思路有相似之处，但是方法二“过点P向y轴作垂线” 时，有可能出现与线段BC或者其延长线相交这两种情形，增加了问题的复杂性。这也许正是我们在阅卷的过程中，没有发现有学生用该方法解答的原因了。不管是方法一还是方法二，都需要做“辅助线”将三角形的面积进行分割，考查学生的“转化”能力，这种思路还是有一定难度的。

但在高中数学中，我们在掌握了点到直线的距离公式之后，这种问题的解答思路就相对显得简单了一些。在中，由于底边 的长是固定的，所以高越大，的面积也就越大。当点P距离直线BC最远时的面积达到最大值。

点P在什么位置时距离直线BC最远呢？从图像来看，显然是一条与直线BC平行的直线与抛物线相切时切点的位置。如图六所示。

图六

方法三：∵B（4，0），C（0，-4）， ∴直线BC的解析式为y=x-4.

则与直线BC平行的直线可设为y=x+b.

当该直线与抛物线相切时，由消x得

x2-4x-（4+b）=0----------（※）

∴△=（-4）2+4×（4+b）=0

∴b=-8

此时方程（※）的解为x=2.

将x=2代入直线方程y=x-8可得y=-6

此时点P的坐标为（2，-6），它到直线BC的y=x-4距离为：

故点P的坐标为（2，-6）时，的面积有最大值8.

当然，我们也可以用“代数”的方法求出该距离的最大值。

方法四：∵B（4，0），C（0，-4），∴

直线BC的解析式为y=x-4.

设点P（x0，y0），其中.

點P到直线BC：y=x-4的距离为：

而点P在直线BC：y=x-4的下方，

∴

当x0=2时，d有最大值

将x0=2代入，得y0=-6

此时，点P的坐标为（2，-6）.的面积为

故点P的坐标为（2，-6）时，的面积有最大值8.

比较方法三和方法四不难看出，在寻求三角形“高”的最大值时，方法三是从几何的角度来思维的，因此思路相对明朗、清晰。而方法四是从代数计算的角度来考虑的，体现了数学的运算、推理功能。同时，方法四中由于点在直线的下方，点到直线的距离公式要考虑去绝对值的符号问题，因此显得相对麻烦一些。

尽管高中的方法显然不用去考虑“分割”而作“辅助线”，思路相对初中而言简单了很多，但由于要用到“点到直线的距离”这个高中知识点，我们没有发现有学生用这种方法的。所以，当那名学生竟然用了高等数学中行列式的方法来解答，尽管该名学生没能完整解答，也足以让我们刮目相看了。下面我们一起来看下高等数学中用行列式来计算三角形面积的方法。

在平面直角坐标系中，如果△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（c3，y3），且按逆时针方向排列，则△ABC的面积S可以简单地用一个三阶行列式来表示，即.（注：如果A，B，C按顺时针方向排列，上述公式右边得到一个负数，但其绝对值大小不变。因此，如果不考虑三个顶点的排列顺序，三角形的面积可以在行列式的外面再加上绝对值来表示。）关于公式的推导这里省略。

注：.

方法五：设点p（x0，y0），其中.则 的面积为

.

∴当x0=2时，S有最大值8，此时y0=-6

∴当点P的坐标为（2，-6）时，的面积最大值8.

从第（3）问的五种解法来看，当然方法五最简洁、明了，没有什么繁琐的思路，只需要代入公式就行了。

当然，纵观这五种解法，我们也不难发现，由于所学知识的局限性，在初中阶段，需要用到分割、转化等手段，通过“添加辅助线”等方法才能解决的问题，思路就显得相对繁琐，过程也就比较麻烦。到了高中之后，随着所学知识的拓展，解题思路也就变得开阔了，在初中知识里面的所谓“难题”也就变得相对简单了。而到了大学阶段，在高等数学的眼里，再来看初中阶段的一些问题，简直就是“小儿科”了。

数学在其自身发展过程中，不断地追求 “化繁为简”的原则，从某种角度来说，这和“大道至简”的思想，有异曲同工之处。

参考文献：

[1]黄卫平.行列式与三角形面积公式[J].数理天地（高中版），2008.

[2]缪应铁.n阶行列式的计算方法[J].临沧师范高等专科学校学报，2009（2）：84—86.

[3]赵树嫄.线性代数简介三·行列式[J].中国统计，1985（4）：34—38.