基于发展直观想象核心素养的项目学习课例

马胜利

摘 要：项目学习课例“解密圆锥曲线”是在培养直观想象核心素养理念指导下，在图形计算器支持下的高中数学项目学习实践，是山西省教育规划课题“高中数学教学中培养学生‘直观想象’核心素养的实践研究”的成果。在本项目学习过程中，学生以小组合作的学习方式，经历调查研究，分析综合，推理论证，交流展示等学习活动，通过“寻找圆锥曲线—研究圆锥曲线—运用圆锥曲线”三个学习阶段，对圆锥曲线的认识达到由感性到理性再到应用的三個层次，使数学直观想象核心素养得到发展。

关键词：项目学习 圆锥曲线 图形计算器 直观想象核心素养

基金项目 山西省教育科学“十三五”规划2016年度规划课题阶段性成果——高中数学教学中培养学生“直观想象”核心素养的实践研究（GH-16262）

一、设计项目的缘起

1.学生实际与课标要求

本项目主要是探寻圆锥曲线背后的秘密，高一或者高二学生均可参与，对高一学生来说这是一次利用图形计算器学习解析几何的尝试。

课标要求：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

（4）收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，撰写小论文、论述平面解析几何发展的过程、重要结果、关键事件、主要人物及其对人类文明的贡献。

2.设计“解密圆锥曲线”项目的缘起

（1）圆锥曲线是高中数学的核心概念，对圆锥曲线的研究既可以利用几何方法又可以利用坐标法，坐标法是解析几何的精髓，其本质是数形结合思想。圆锥曲线的模型在现实世界中大量存在，在生产生活中应用广泛，学生们比较熟悉又充满好奇，以研究圆锥曲线为项目学习课题驱动力强，能够激发学生的探究热情.

（2）本项目是山西省教育科学规划课题“高中数学教学中培养学生‘直观想象’核心素养的实践研究”的成果，是基于培养直观想象核心素养理念的高中数学项目学习。课题组的研究内容之一是如何利用技术助力培养学生的直观想象核心素养，有30台卡西欧fx-CG20图形计算器可供利用，为本项目学习的研究提供了技术支持，基于充分利用图形计算器进行技术支持下的高中数学项目学习研究的考虑，决定以“解密圆锥曲线”为项目课题。

（3）一般的项目学习课题是将解决一个生活中的实际问题作为项目任务展开的，本项目学习是以探索一个抽象的数学对象——圆锥曲线作为项目学习任务，这是由数学的高度抽象的特点决定的。数学是研究数量关系和空间形式的学科，它的研究内容除了现实生活中实际存在的问题之外，更多的是对由这些实际问题提炼出的抽象的数学对象之间的关系，圆锥曲线在现实世界中应用广泛，而其自身的很多有趣性质又可以通过逻辑推理得到，因此“解密圆锥曲线”是一个具有数学特色的项目学习课题。

3.落实核心素养的需要

（1）圆锥曲线的模型在现实中广泛存在，并大量应用于人们的生产生活中，如航天科技，光学仪器，建筑设计，日常装饰，等等，这为学生解密圆锥曲线提供了很好的资源。本项目学习的过程主要有三个阶段：一是寻找圆锥曲线，二是研究圆锥曲线，三是运用圆锥曲线。通过这三个阶段的学习，学生对圆锥曲线的认识经历由感性到理性再到应用三个层次。在学习过程中，学生将以小组合作的学习方式，经历调查研究，分析综合，推理论证，交流展示等学习活动，有利于发展学生的数据处理、数学抽象、数学建模等核心素养。

（2）借助图形计算器研究圆锥曲线是本项目的一大特点，图形计算器可以方便地实现数形之间的转化，使得图形成为学生解决问题的主要工具和交流方式，从而促进学生直观想象核心素养的提升。

二、项目学习的设计与实施

本项目预计用六周完成，学生在每周利用两节课的时间进行统一学习和交流，其余项目学习活动利用课余时间完成。

1.项目的驱动问题

椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，人类对它的研究历史可以追溯到两千多年前的古希腊，观察我们的世界，你会发现从生活饰品到宇宙星体，圆锥曲线随处可见，从照明灯具到冷却水塔，圆锥曲线的应用广泛。圆锥曲线和圆锥有什么关系？它们有哪些统一的性质？是什么让它们如此美丽又如此有用？打开图形计算器，点开上面圆锥曲线的菜单，呈现出来的是一些方程，圆锥曲线和这些方程之间有怎样的关系？关于圆锥曲线，你是不是还有很多问题？为了揭开圆锥曲线的“面纱”，探寻它背后的秘密。提炼出本项目的驱动问题：椭圆，双曲线，抛物线的模型在我们的生活中大量存在，这些圆锥曲线的背后隐藏着怎样的秘密？

准备阶段：

（1）分配项目小组——五人一组，一共十组，确定组长、副组长、组内行动记录员（摄像）、文字录入员等。

（2）创设项目学习交流讨论平台，比如QQ交流群，微信交流群等。

第一阶段：考察和学习

理解驱动问题，将十个小组分成三个大组，分别承担“寻找圆锥曲线”“确定圆锥曲线”“应用圆锥曲线”的项目任务。

原计划是全体学生经历“寻找圆锥曲线”“确定圆锥曲线”“应用圆锥曲线”的学习过程，在实际操作过程中发现每个环节由十个小组来做不是太好。一方面任务比较单一，学生做的大部分工作会重复；另一方面，很多学生在做同一个项目学习任务，项目学习任务的重心就会分散，学生的学习行为就会不集中，不利于项目学习的管理。从知识角度来看，“寻找圆锥曲线”“确定圆锥曲线”“应用圆锥曲线”三者并不存在严格的逻辑关系，完全可以单独完成且齐头并进。于是，从项目学习的合作学习和小组学习特点出发，决定共同推进。在项目学习的第一阶段，让学生利用自己喜欢和擅长的学习方式完成各自的任务，对学生的学习兴趣是一次激励，同时，组和组之间可以进行有效地比较，激发学生完成项目学习任务的斗志。这样的设计可以将项目学习的时间大大缩短，同时也对学生后续合作学习提出了更高的要求。

三个大组的具体学习任务安排：

① “寻找圆锥曲线”组：尽量多地找出生活中的圆锥曲线模型。可以建议项目学习小组在商标、建筑、装饰或者是网络上寻找。

② “确定圆锥曲线”组：主要任务是搞清楚圆锥曲线的定义。这个组由两个技术小组构成，一个是手持技术组，所用的工具是图形计算器，主要研究解析几何的基本思想，把涉及圆锥曲线的知识了解到位，以便将来给同学讲解；另一个是《几何画板》组，主要是研究利用《几何画板》软件从几何角度来确定圆锥曲线的方法，主要涉及圆锥曲线的统一定义等。

③“应用圆锥曲线”组：主要是实际考察和通过互联网搜索圆锥曲线在实际生活中的应用，包括军工，航天，光学仪器，物理等方面。

本阶段学生的主要项目作品：

①“寻找圆锥曲线”组：归纳圆锥曲线出现的情况，以图片的形式展示。

②“确定圆锥曲线”组：手持技术组主要学习解析几何的基本思想，圆锥曲线方程的标准形式等数学知识；《几何画板》组主要帮助同学理解圆锥曲线第一定义与第二定义，用《几何画板》动态演示圆锥曲线的形成和统一性。

③“应用圆锥曲线”组：展示考察结果，展示相应的图片、视频，等等。

以上项目作品均要求学生在课堂上进行讲解，讲解的过程全程录像，然后发到交流群里，在之后的学习中，学生有什么疑问可以直接在群里交流解决。（图1为学生利用《几何画板》展示圆锥曲线统一定义，图2为学生利用图形计算器研究圆锥曲线）

第二阶段：研究和解密

本阶段主要是运用相关知识解密圆锥曲线，解决有关圆锥曲线“是不是”和“为什么”的问题，主要包括两个方面：一是判断上一阶段找到的图片是否包含圆锥曲线；二是揭秘上一阶段圆锥曲线的应用都体现了圆锥曲线的哪些性质并证明。这一部分是本项目学习的重点，在完成解释有关圆锥曲线的现象这个任务的过程中，学生进一步利用技术完成对圆锥曲线的深入探究，更加深入理解了解析几何的精髓——坐标法。

本阶段学生的主要项目作品：

①对前面找到的圆锥曲线图片，利用图形计算器中的圆锥曲线模块从代数的角度来确定它们是否是圆锥曲线。将研究过程打包成一个知识产品分享给同学。

②对于应用的部分，重点研究圆锥曲线的光学性质，利用图形计算器中的几何模块和解方程模块分别从几何和代数角度来进行证明。将研究过程打包成一个知识产品分享给同学。

（图3为学生利用图形计算器验证丰田汽车的标志是椭圆，图4为学生利用图形计算器证明椭圆的光学性质。）

第三阶段：创作和运用

各小组从以下任务中任选一個完成：①利用圆锥曲线的几何性质制作一件手工作品；②利用圆锥曲线的几何性质设计一种有应用价值的产品，写出详细的设计方案；

③考察圆锥曲线的发现和研究历史，发掘圆锥曲线背后的故事。

本阶段学生的主要项目作品：

各组的选择不相同，有三个组是研究圆锥曲线的发展史，并写出论文及制作PPT；有三个组是利用圆锥曲线的性质设计产品，包括椭圆台球桌，抛物线桥，太阳灶等；有一个组是设计关于圆锥曲线的小玩具。（图5为学生讲解圆锥曲线极简史，图6为学生制作的抛物线型虹桥。）

第四阶段：汇报交流，总结表彰

本项目学习接近尾声时，学校举办科技节，学生在完成“解密圆锥曲线项目学习报告”的基础上，为全校同学在科技节上做了题为“解密圆锥曲线”的专题报告。

学生先设计出科技节报告的海报，张贴在校园内醒目的位置，为这场报告做宣传，接着教师和学生共同商讨如何完成解密圆锥曲线的报告，认为只要把曾经完成的项目作品集中在报告中展示出来，以合理的逻辑顺序进行安排就可以很好地完成这项任务。在正式报告之前，学生进行了演讲稿的修改和报告的彩排，做好了充分的准备。最终，在正式报告时，学生的发挥非常好，受到了与会师生的高度的评价。

在本项目学习的最后，召开了一次项目学习总结表彰会，邀请学校的相关领导，数学组全体教师，以及学生家长参加，对学生在本项目学习活动中的各方面表现进行总结和表彰。

本阶段学生的主要项目作品：

①解密圆锥曲线项目学习报告；

②科技节专题报告的海报；

③学生在报告中准备的演讲稿、PPT以及科技节报告的完整视频。

（图7为科技节专题报告“解密圆锥曲线”的海报，图8，图9为学生在报告现场利用图形计算器研究圆锥曲线，图10为学生在报告会上讲解圆锥曲线的应用）

5.项目学习成果

（1）在山西省教育科学研究院薛红霞老师主持的“高中数学教学中培养学生‘直观想象’核心素养的实践研究”课题组的影响下，本项目学习侧重于研究图形计算器在项目学习中的运用，取得的成果均在“高中数学教学中培养学生‘直观想象’核心素养的实践研究”课题组活动中作为研讨对象展示给省内有关教师，特别是应陕西省教科院的邀请，赴西安中学展示了案例“图形计算器在项目学习中的应用”，受到了山西和陕西两省数学教师的高度评价，并且对项目研究成果有一定的推动作用。

（2）本项目学习中图形计算器的使用在很大程度上提高了学生的数学学习兴趣，有三位学生的项目作品在第一届卡西欧（GDC达人秀）活动中获奖，其中王子杰同学获得最高奖“钻石达人”。（图11为学生的获奖证书）

三、项目学习的反思

本项目学习活动的开展获得了有关专家、领导、家长的好评，深受学生欢迎。通过本项目的实践，主要有以下几点收获：

1.体会到了如何开展高中数学项目学习。

项目学习是面向未来的教学方式，目前，高中数学科目中这类课该怎样上，在全国还没有研究的先例，通过对“解密圆锥曲线”的项目学习教学实践，我们积累了开展项目学习活动的经验，为项目学习的研究和实践提供了生动鲜活的课例。

2.感悟到了如何利用技术来进行高中数学教学。

在未来的教学中，技术的运用是不可避免的，人类的大脑主要是用来思考的，而技术为我们提供了充分发挥大脑优势的可能性，在课堂上，能用技术解决的，就不必用人脑解决。通过本项目的实践，我感悟到充分发挥技术的作用，使技术为数学教学所用，在应用技术的基础上使得学生的学习效率和教师的教学效率大大提高。

3.感受到了学生的“直观想象”核心素养在项目学习活动中得以培养和提高。

数学是研究数量关系和空间形式的学科，对于形的研究是数学研究的主要方面，圆锥曲线模型广泛出现在我们的世界之中，它是数学“真”“善”“美”的典范，形态优美，体现了宇宙的秩序。伴随着解析几何的出现，圆锥曲线体现了数和形的完美结合，在本项目学习过程中，学生不断经历由形到数再由数到形的思维过程，通过直观想象找到圆锥曲线“形”的特征，再通过抽象思维，得到圆锥曲线“数”的特征，在直观具体和抽象概括相辅相成的思考和探究当中，学生的直观想象能力得到培养和提高。