浅谈不定积分教学中的几点思考

吴丽华

摘  要：不定积分作为高等数学的重要内容之一，课堂教学效果通常不是很理想。文章针对不定积分教学和学习中存在的问题，进行了总结和分析，并提出一些课堂教学建议。

关键词：原函数;不定积分;不定积分方法

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）11-0131-03

Abstract： As one of the most important content in advanced mathematics， indefinite integral is usually not well grasped and applied by students after classroom teaching. The article summarizes and analyzes the problems existing in the teaching and learning of indefinite points， and proposes some classroom teaching suggestions.

Keywords： antiderivative; indefinite integral; method of indefinite integral

一、概述

众所周知，高等数学是高等学校教育必修的基础课程。它不仅与很多学科都有着紧密的联系，而且应用也非常广泛。不定积分是连接高等数学中微分和积分两大板块的纽带，起着承上启下的作用。一方面，不定积分是求导或微分的逆运算;另一方面，它又是积分学中牛顿-莱布尼茨公式应用的关键。不定积分掌握不好，直接影响后续整个积分学的学习。初学者往往由于对不定积分的概念、定理理解不够深刻，以及基本方法掌握不好，对此望而生畏.因此，正确深刻理解不定积分的概念、定理并灵活掌握不定积分的计算方法，是学好不定积分的关键。笔者依据自身多年高等数学和经济数学的教学经历，结合教学过程中学生普遍比较困惑的问题，深刻剖析了问题产生的原因，并在此基础上，提出了一些课堂教学的建议，以供参考。

二、不定积分概念的理解

本节将简要介绍原函数和不定积分的定义，并指出其中易被忽视的细节，希望能够帮助初学者加深对基本概念的理解。

三、不定积分方法的正确掌握和灵活运用

本节将简单归纳不定积分的计算方法，并对其适用范围进行分析。特别地，笔者将仔细剖析教材中第二换元定理应用的不恰当之处。

一般地，高等数学教材中介绍的不定积分的方法主要有基本积分表、换元法、分部积分法以及有理函数的积分法。方法虽然多，但初学者往往不知如何应用。通常拿到一道不定积分的题后，不知该选择哪种方法来计算。因此，正确掌握这些方法并能灵活应用到具体计算中是不定积分学习的重要内容。为此，我们要对这些方法有一个清晰的认识，对其适用范围要有一定的判断。

首先，笔者认为基本积分表是不定积分计算的基础，可以说任何不定积分，不论采用什么方法，最终都要归结到基本积分表的应用。因此，基本积分表是學生在学习时必须要牢牢记住的。因基本积分表是由基本求导公式和不定积分的定义推导而得，故只要知道基本求导公式，结合不定积分的定义，很容易就能记住基本积分表。学习数学自然少不了要记一些公式，但如果在理解的基础上去记，比死记硬背要容易得多。

注：我们知道，不定积分计算的灵活性较大，实际计算时，不同的人可能采用的方法不同，这样所得结果可能会形式上不一样，学生对此颇有疑惑。事实上，某些函数，尤其是三角函数或反三角函数之间存在着许多恒等式，借助它们可以将表达式改写成其他的形式，所以出现这种情况也属正常。学生在碰到这类情况时，应意识到可能存在恒等关系，并可以应用分析中的方法来证明该恒等式，验证结论无误。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]吴传生.经济数学——微积分[M].北京：高等教育出版社，2015.

[4]陈传璋，金福临，朱学炎，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.