研读中考试题·挖掘解题能力·提高课堂效率

闫开波 罗庆明 张立萍

摘要：2018年内蒙古包头市中考数学试卷第25题，是以动点和折叠为载体，以问题串的形式呈现试题，主要考查学生综合与实践的能力，有针对性地提高学生的数学核心素养。此题各个问题之间层层递进、环环相扣。文章从初中数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验四个维度出发，进行考点分析和思路评析。

关键词：思想方法;解法评析;能力提升;数学素养

内蒙古包头市历年中考数学题目总能推陈出新，内容令人耳目一新，思维深度碰撞。特别是第25题图形变化综合题，题目灵活多变。2015年以前考查动点问题，2016年考查折叠问题，2017年考查旋转问题，2018年别出心裁地把动点与折叠问题巧妙地结合在一起。更令人惊讶的是，2018年有的学生的解答过程也是别出心裁，跳出固有思维，通过建立平面直角坐标系，把几何问题函数化，用解析几何的方法轻松解答。下面，笔者通过五个板块来剖析试题、探究解法、提升能力、思考课堂。

一、试题呈现

题目 在矩形ABCD中，AB=3，BC =5，E是AD上的一个动点。

（1）如图l，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE。当OE= DE时，求AE的长;

（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G。当BE平分∠ABC时，求BG的长;

（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D’处，过点D作D’N⊥4D于点Ⅳ，与EH交于点M，且AE=1。

①求 的值;

②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？试说明理由。

二、试题特色

此题是四边形背景下的动点问题与折叠问题的综合应用，运用图形与坐标、图形与函数、图形的变换等知识，体现知识与能力并用、思想与方法交融的命题特点，坚持以学生为本，强调能力立意，体现新课程理念;全面考查学生运用所学基础知识和基本技能分析问题、解决问题的能力，有利于发展学生的创造性;对学生应该具备的基本文化素质和能力进行比较全面的考查;此题重点考查了学生的几何推理能力，思维层次逐步提升，“几何味”逐步显现，梯度合理，区分度较高。逻辑推理是学生发展所需要的重要核心素养之一，本着“核心内容重点考查”的命题指导思想，命题者在这方面有所侧重，旨在突出学生的数学思想方法，以及计算能力、知识应用能力等数学素养的考查。

勾股定理、直角三角形斜边上的中线、相似三角形的判定与性质，都是学生必备的基础知识和必会的基本技能。但是，能否利用“中点”这一关键词，而且是直角三角形中的“中点”，这是突破这一小题，甚至是这道题的解题关键所在。

2.第（2）小题的解答综合性强，思维缜密，作答多样，层次感强

（1）第一个切入点：由角平分线出发，利用等腰直角三角形求边长。

此种方法虽然便于理解，但是却不容易想到，要求学生数形结合能力强，几何问题函数化，方法娴熟，值得学生学习。当然，对于大多数学生而言，最容易想到的还是用三角形相似法去解答。

（2）第二个切入点：再用一次等腰直角三角形EFC求解45°角，便可以运用相似法。

方法2：斜A型图。

表面上看，证明两个不相关的三角形相似没有思路。但是，仔细分析条件，出现了两条边长为5的线段，因此出现了等腰三角形，从而打开了解题思路。再利用折叠、互余之间的关系证明另一个等腰三角形，从而得证。

四、反思与提升

第（2）小题解题方法多样，综合性强，渗透了数学的基本思想方法和基本技能，值得思考研究。此道小题挖掘题目隐藏内容，合理运用基本图形，数形结合，转化明确，使解法自然生成。此题的3道小题层层递进，第（3）小题达到升华。因此，在九年级综合复习阶段，教师要大胆让学生去尝试，让学生在做中学习，感悟学习过程，这也是让学生学会学习、学会求知、学会建模的理念。“真正的数学题”应该满足一些基本条件：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性、解题方法的多样性，具有自我生长的能力等。

五、延伸与拓展

（1）数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是思维的科学，数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算。而推理是数学的根本，运算是数学的基本功。因此，教师要有课程意识。数学课程能使学生掌握必要的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力、创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。那么，如何教好这门课呢？“自主一探究一合作一交流”这样的教学过程是一种有效的方法.

（2）教师不仅要注重《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的知识技能目标，还要注重数学思考、问题解决、情感态度等目标;不仅要注重结果性目标，还要注重过程性目标;不仅要注重“四基”“四能”的培养，还要注重“10个核心概念”的培养。

（3）教师要利用好教材，注重对教材、例题和习题的知识运用的研究。教师要把教材中的例题、练习题通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展等方式进行变式.通过变条件、变结论、变图形、变式子、变表达等不同形式，达到夯实基础知识、掌握基本方法的目的，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及学生综合运用的能力。

（4）教师不仅要注重培养学生的思维能力，同时还要注重培养学生的动手能力。尤其是运算能力，培养运算能力有助于学生理解运算算理，寻求合理、简洁的运算途径来解决实际问题。

（5）教师要注重培养学生的发散思维能力，解题的灵活性，通性、通法的能力，不要以题论题，而要以题论法、以题论道。

总之，在今后的教学中，教师更应该注重学生思维的培养、数学思考的训练，给学生创设思考的空间，搭好“梯子”，攀登知识的“高峰”，以知识为载体激发学生学习数学的兴趣，培养学生刻苦钻研、永不放弃的精神，提升学生解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]宋春，刘金英，赵国华.研读中考试题·培养数学素养·提升解题能力：2017年天津市中考第24题的解题研究与反思[J].中国数学教育（初中版），2018（6）.

[2]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）.

[3]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京師范大学出版社，2012.