高中数学中常见的不等式放缩方法

2019-09-10 11:34杨发莲
学习与科普 2019年31期
关键词:不等式高中数学

杨发莲

摘要:在高中数学中,不等式扩展和收缩方法经常存在于各种不等式的证明中,这是证明不等式是否有效的常用方法,并且在学习过程中很难掌握这种方法。 本文重点研究了不等式的缩放方法,并以样本问题的形式详细解释了具体的缩放方法,以帮助学生更好地掌握该部分的内容。

关键词:关键词:高中数学;不等式;放缩方法

一、浅析不等式缩放方法

在高中不等式相关内容的学习过程中,缩放方法是一种常见的不等式计算方法。它主要是扩大或缩小不等式左右两侧的项,以便找到中间项并帮助证明不等式是否正确。例如,如果难以直接证明不等式A和B,那么我们可以找到A中间c,在不等式的左侧放大或缩小A到c,然后只需要证明A,c和B.这种证明不等式的方法称为缩放方法。在使用此方法解决问题时,需要掌握一些技能。例如,在简单的不等式的情况下,需要适当地丢弃一些不重要的项,而对于过于简单的不平等,应该适当地添加中间项,但必须很好地掌握程度,并且复杂性不应该是增加,只有准确把握相关内容,才能很好地运用这种方法。

二、常见的不等式缩放方法

扩缩法是证明不等式的常用且非常重要的方法。在证明过程中,适当的缩减和收缩可以简化复杂性并使难度变得更容易,从而以一半的努力获得两倍的结果。但是,收缩的范围很难掌握,经常出现收缩后无法得出结论或得出相反的结论现象。因此,在使用扩缩法时,如何确定收缩目标非常重要。为了正确确定目标,我们必须根据结论,把握主题的特点。掌握扩张和收缩的技能,真正理解并根据不同类型的问题,采用适当的扩展和收缩方法,解决问题,从而培养和提高他们的思维和邏辑推理能力,分析和解决问题的能力。

2.1不等式缩放基于特定目标

要应用这种方法,有必要澄清问题的目标并掌握不平等缩放的程度方法主要包括添加一些项,删除一些项,使用分数的属性,还有使用不等式的属性,使用已知的不等式和使用函数的属性等。

添加一些项。比如,求证:3/2-1/(n+1)<1+1/(2^2)+1/(3^2)+……+1/n^2<2-1/n结题过程为

1+1/2²+1/3²+...+1/n²

>1+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/[n(n+1)]

=1+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))

=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)

=(3/2)-1/(n+1)

1+1/2²+1/3²+...+1/n²

<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3+...+(1/(n-1)-/n)

=1++1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n

=2-1/n

2.2删除某些项

标记a,b和c是正数,而ab + bc + ca = 1。标记a + b + c,当你看到这个问题时,如果你不使用某种缩放技术,那么这个这个题目是不可能开始的。为了证明结论是有效的,a+b+ c可以假设a,b和c的值是相同的,并且结合设定条件ab+bc+ca = l,我们首先假设a=b=c=1,所以我们可以发现等号有效。如果你想证明不平等是真的,你要么必须删除一些东西然后证明它。具体的证明过程如下:

证明:因为(a+b+c)2—a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

=1/2{(a-b)2+(b-c)2 +(c-a)2} +3(ab+bc+ca)

所以,(a+b+c)2+3(ab+bc+ca)=3然后再对其进行开方,所以,a+b+c=3只有当a=b=c= 1时等号成立。

不等式的证明.

已知a大于2,用放缩法证明不等式:log a为底,(a-1)的对数乘以log a为底,(a=1)的对数,它们的乘积小于1.

结题过程:loga (a-1)*loga(a+1)

≤{ [loga(a-1)+loga(a+1)]/2}²={[loga (a²-1)]/2}²

<{[loga (a²)]/2}²

=1

所以,原不等式成立

2.3使用分数的属性

例3已经知道a,b,c他们都是正实数,加上a+b>c证明a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)。

显然,这个问题是一个不平等的部分。缩放时,我们可以将分子和分母与问题集中的已知不等式条件一起缩放,然后进行计算。因为a+b> c,所以a + b-c> 0,所以

c/(1+c)<c+(a+b-c)/1+c+(a+b-c)=a+b/1+a+b=a/(1+a+b)+b/(1+a+b)<a/(1+a)+b/(1+b)

所以c/(1+c)<a/(1+a)+b/(1+b)

即a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)

三、放缩过程的关键点

3.1基本的方式

a.常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”而使不等式各项之和变小(大)

b.“在分式中放大或缩小分式的分子分母”,

c.“在乘积式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的

比如,要证明不等式A>B成立,可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如A放大成C,即A<C,后证C<B,这种证法便称为放缩法,技巧有:舍掉(或加进)一些项;在分式中放大或缩小分子或分母;应用基本不等式进行放缩。 理论依据有:不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。

3.2把握放缩的度

显然要保持放缩后的表达式与原式有相同的极限,这就要求在一般情形下,事先即明确所求原式极限值为多少,经放缩简化后的表达式又是多大。

四、结语

总而言之,对于一些在高中常用的利用放缩法解决不等式的方法和技巧已经做了一定的阐述。它涉及许多解决技能,并与数学的其他方面密切相关。要掌握这种方法,除了掌握关键技能外,还要进一步加强对其他板块的认识。

参考文献:

[1]成俊辅.高中数学中常见不等式的放缩方法[J].环渤海经济瞭望,2017(8): 150-150.

[2]朱国宏.探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用[J].高中数理化, 2014(5):12-13.

[3]董益芳.确定类型有的放缩——以2008年高考中的数列型不等式证明为例[J].中国数学教育, 2009(3):31-35.

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