☉广东省高州中学 吴永福
三角形中与正切函数有关的最值问题曾经出现在2016年的江苏高考试题中,近年来在许多高考模拟试题中,又出现了这样的题型,该题型不属于常见题型,对许多人来说比较陌生,难处理,那么如何解这类题型?笔者对这类题型的解法进行了探究,揭示了其存在的一些解题规律,在此与各位分享,望能对各位的解题有所帮助.
①目标函数为tanAtanBtanC,条件可化简为tanA+tanB=mtanAtanB(或tanA+tanC=mtanAtanC或tanB+tanC=mtanBtanC)
例1 在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是______.
小结:由sinA=2sinBsinC 变形得到tanB+tanC=2tanBtanC,将tanAtanBtanC表示成关于tanBtanC的函数,再求其最小值.
②目标函数为tanAtanBtanC,条件可化简为tanA=mtanB(或tanA=mtanC或tanB=mtanC)
例2在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+2abcosC=3b2,则tanAtanBtanC的最小值为______.
小结:利用公式sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)化简,得 到tanA=3tanB,将tanC 也 用tanB 表 示,将tanAtanBtanC表示成关于tanB的函数,再求其最小值.
例3在锐角三角形ABC中,已知2sin2A+sin2B=2sin2C,则的最小值为______.
小结:根据系数关系将2sin2A+sin2B=2sin2C变形为sin2B=2(sin2C-sin2A),利用公式sin2C-sin2A=sin(C+A)·sin(C-A)化简,得到tanC=3tanA,将tanB也用tanA表示,将表示成关于tanA的函数,再求其最小值.
例4锐角△ABC的面积为1,则的最小值为______.
小结:利用三角形的面积为1,将b2用角表示,将用角表示,再利用公式进行化简,得到,根据,得到·,利用均值不等式求得的最大值,从而得到的最小值.
例5已知在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,若tanA=2tanB,则的最大值为______.
小结:将tanA=2tanB 切化弦,变形为sinAcosB=2cosAsinB,再配凑为sin(A+B)=3cosAsinB,即sinC=3cosAsinB,用正、余弦定理转化为边的关系,再求的最大值.
例6已知△ABC的面积为,且满足,则边AC的最小值为______.
小结:将切化弦,表示成2cosAsinB+sinAcosB=sinAsinB,配 凑 成sin(A+B)+cosAsinB=sinAsinB,即sinC=(sinA-cosA)sinB,用正弦定理转化成c=(sinA-cosA)b,利用三角形的面积公式,将边b表示成角A的函数,从而可求出其最小值.