“三会”视域下“回归分析”教科书比较研究——以人教A版和北师大版为例

☉西北师范大学教育学院 张定强

☉西北师范大学教育学院 梁会芳

☉西北师范大学教育学院 杨 怡

一、引言

普通高中数学课程标准（2017年版）凝练了数学学科核心素养，其本质是描述学生经过数学教育后应当具有的数学特质，具体可以归纳为“三会”，即会用数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考世界；会用数学的语言表达世界.“三会”是对数学核心素养的高度概括，是联系数学与现实世界的桥梁，也是数学教育培养的目标.但“三会”目标的落实首先要体现在数学课程内容中.“回归分析”是统计学中的重要内容之一，是通过建立统计模型研究变量间相关关系的密切程度、结构状态及进行模型预测的一种有效的工具.在大数据时代，学习它可以使我们对所观测到的数据加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，对提升数据信息素养有着重要的价值.为此，本文对人教A版和北师大版教科书中“回归分析”的内容从“三会”的视域下进行研究，以期为深度解读数学教科书提供参考样例.

二、研究对象与内容

1.研究对象

回归分析是对具有不确定关系（即相关关系）的两个变量进行统计分析的一种方法，是联系数学知识与实际生活的有效桥梁.考虑到比较对象的代表性与典型性，本文主要选取使用比较广泛的两版教科书：人教A版和北师大版，对其选修2-3第三章“统计案例”中的“回归分析”相关内容进行对比分析.

2.内容框架

运用文本分析和比较研究的方法，对人教A版和北师大版教科书关于“回归分析”的内容结构进行分析，从整体的知识结构来说，两版教科书关于“回归分析”内容的建构都是建立在必修3所学的统计内容的基础之上，并且均以案例的方式对回归分析的基本思想进行展开.但从具体的知识结构来说，两版教科书在必修和选修知识结构的分布以及侧重点方面都存在着显著的差异，具体如表1所示.

表1 “回归分析”整体知识结构分析

由表1可知，无论是必修模块还是选修模块，人教A版都是把相关内容作为一整节来处理，而北师大版在编排的过程中将其细化，分为不同的小节来加以呈现.对此笔者将从“三会”的视域对其建构过程进行深度解析，以明晰其建构特点，充分挖掘并体会统计思维的特点，以开阔思路，探寻培养学生创新精神的基点.

三、研究结果

“三会”是数学在人与世界之间搭建的一座“立交桥”，是数学教育育人功能的全面概括，也是数学教育落实立德树人根本任务的具体路径.史宁中教授提出，为了使广大数学教育工作者能够有机地将数学核心素养融入到教材编写、教育研究以及教育教学过程中，需要将“三会”具体化，赋予其内涵，即六大数学核心素养.下面从数学眼光、数学思维、数学语言三个维度对两版教科书中回归分析的内容进行分析.

1.数学眼光视角下的比较分析

所谓数学眼光是指从客观现象或事物中捕捉出其蕴含的数学特征和数学观点的意识和能力.具体而言就是数学抽象，而与数学抽象最为密切的直观想象，则是实现数学抽象的思维基础.

高中数学教科书中，回归分析作为研究成对随机变量相关关系的重要思想与方法，对于学生数学抽象素养的形成有着其独特的功能.对两版教科书的内容组织进行对比发现（如表2），无论是人教A版还是北师大版，都是以案例、探究或问题提出的形式，利用文字+表格和文字+表格+图像的表征方式将数据直观化，通过画散点图直观抽象出两个变量之间的相关关系，利用给定案例中的数量关系确定回归方程的参数，从而得到具体的回归模型，使学生从实际的情境中展开认识活动，从具体的情境中抽象出学习对象，进而有利于学生数学抽象素养的培养.

表2 两版教科书内容组织对比分析

由表2发现，两版教科书对于内容的表征大多采用文字+表格或文字+表格+图像的形式，使学生利用数据的直观图表进行数据分析，从而发展其直观想象素养.直观图是培养学生直观想象素养的主要载体，为了了解两版教科书在图像使用方面的差别，对两版教科书平均图文比（幅/页）、平均图题比（幅/道）进行统计，发现两版教科书对于习题的图像设置虽没有明显差异，但对于整体图像的使用频率相差较大.具体而言，人教A版“回归分析”内容共11页，其中课文插图、习题插图共6幅，图题比为0.5，图文比为0.55；北师大版“回归分析”内容共14页，其中课文插图、习题插图共16幅，图题比为0.5，图文比高达1.14，北师大版教科书图像的使用频率明显高于人教A版，更有助于学生直观想象素养的培养.

2.数学思维视角下的比较分析

数学思维是指用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，具体而言就是逻辑推理，而数学运算即是逻辑推理的一种特殊形式，同时也是实现数学思维的逻辑基础.

为了了解两版教科书是如何基于数学思维建构的，笔者做出对比分析（如表3）.

表3 两版教科书“思维建构”对比分析

由表3可以发现，从逻辑推理的合理性看，北师大版比人教A版更符合学生的思维建构.如从线性回归方程的计算公式的推导来看，两版教科书的设计都是在必修阶段利用最小二乘法求回归方程的基础之上进行，但人教A版是通过探究的方式，直接给出其推导过程，略显突兀；而北师大版在逻辑体系建构的过程中，以案例的形式链接必修模块的相关内容，在案例分析与理解的过程中层层递进，有条理地得出线性回归方程，与学生的逻辑思维联系更加紧密，易于学生的理解和内化.从逻辑推理的关联性看，人教A版比北师大版的关联更为密切.如从回归模型拟合效果的探讨来看，北师大版是以问题提出的形式，直接引入线性相关系数来判断线性相关程度的大小，与前文建构的逻辑关联性不强；而人教A版则是以案例分析的方法得出线性回归模型的数学表达式，通过对不可观测量——随机误差的探究分析，引入模型拟合效果的分析工具：残差分析和R2，更符合学生的逻辑思维习惯.从逻辑推理的可操作性看，人教A版比北师大版更易操作.如从回归模型的建构过程和两个模型拟合效果优劣的对比来看，人教A版在建构过程中，明确给出了具体的操作步骤，使学生在逻辑推理过程中有据可循，从而更有利于学生掌握规范的解题步骤，并感知数学的严谨性.

另外，对比两版教科书关于学生数学运算素养的要求发现：人教A版和北师大版在回归分析这一知识体系的建构过程中，对于学生的数学运算素养要求都较高，包括对回归方程中参数的计算、回归假设检验的计算等.但从非线性回归模型的可线性化来看，北师大版介绍了几种常见的非线性函数，并给出了相应的变换步骤，学生只需根据变换步骤进行简单的计算即可；而人教A版在建构的过程中，学生需要通过对散点图的观察，自行调动已有的认知体系中的函数模型，进而确定回归模型的类型，联系并结合相关知识对原始数据进行相应的变换（如对预报变量的对数变换或解释变量的平方变换等），从而实现非线性关系的可线性化，相比之下，人教A版对于学生的运算素养要求则更高一些.同时，两版教科书在建构的过程中，都暗含着对数学运算工具使用的强调，包括科学计算器、计算机电子表格软件、MATLAB软件等，从而有利于减轻学生的运算负担.

3.数学语言视角下的比较分析

数学语言是在数学思维中产生和发展的，也是数学思维的有效载体，具体而言包括文字语言、符号语言、图形语言，具有抽象、严密、简洁、通用等特点.回归数学世界，数学语言指的是数学建模与数据分析，它是沟通数学与现实世界的桥梁，是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

回归模型是高中数学学习的主要模型之一，是揭示事物间相关变量的数量关系的有效模型.从回归模型建构的角度看，其建构过程如图1所示.

两版教科书在模型建构的过程中都强调通过作散点图对数据进行分析，注重非线性相关模型的可线性化，以及利用最小二乘法建立回归模型等，虽然两版教科书对于模型检验的方法有所差异，但对于回归假设检验的思想是两版教科书选修模块的重点内容，可以使学生深入体会回归模型不仅能近似描述产生样本数据的真实模型，而且寻求近似效果更好的模型是统计方法的显著特点，也是数学建模的本质所在.另外，两版教科书对于回归建模的过程均不完整，对于实际问题回归模型的建立和分析应主要包括设置指标变量、收集与整理数据、构建理论模型、估计模型参数、回归模型检验、利用模型进行预测等几个环节，而人教A版和北师大版在建构的过程中都缺乏对设置指标变量以及收集与整理数据的设计.对于指标变量的设置，人教A版在分析回归模型的过程中，对于解释变量、预报变量以及随机误差之间的关系进行了简单的描述，有助于学生更好地理解函数关系与相关关系之间的差异.但针对具体问题，在回归模型建构的过程中，不再提及谁是解释变量、谁是预报变量，以及影响预报变量的随机误差有哪些；而北师大版在建构的过程中，对于变量的设置从未提及，更加强调在具体案例的解决过程中，体会变量的意义.回归模型是建立在回归变量样本统计数据的基础之上的，收集、整理数据是最基础的一环，是学生经历一个完整统计活动的入口，但两版教科书在编写的过程中都淡化了对这一环节的设置.

四、研究结论与展望

1.结论

基于“三会”视域对人教A版和北师大版教科书关于回归分析的相关内容进行对比分析发现：两版教科书对于回归分析知识的建构思路与侧重点不同，使其在数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等方面的表现既有相似之处，也存在一定的差异性.在数学眼光的视角下，两版教科书都以案例、探究或问题的方式串联组织内容，抽象出具体模型，发展学生的数学抽象素养.对于图像的使用频率，北师大版明显高于人教A版，更有助于培养学生的直观想象素养；在数学思维的视角下，从逻辑推理的合理性看，北师大版比人教A版更符合学生的思维建构，但从逻辑推理的关联性和可操作性看，人教A版的思维建构关联更密切且更易操作.同时，两版教科书对于数学运算素养的要求都较高，强调数学工具的使用；在数学语言的视角下，两版教科书都强调回归建模思想的渗透以及数据的可视化，但对于回归模型的建构过程均不完整，缺乏对设置指标变量以及收集与整理数据的设计.

图1 “回归模型”建构对比图

2.展望

教科书作为联结教师和学生的一种有效的课程资源，其内容的选取、建构的思路对于数学教育的育人价值会产生极其重要的影响.统计学是一门与数据打交道的科学，对于处在大数据背景下的学生来说，数据可以帮助其认识世界，对未来进行合理的预测.以数学的眼光审视数据，以数学的思维思考数据，以数学的语言表达数据，才能有效挖掘数据背后所潜藏的价值，培养学生的数学核心素养，实现数学教育的育人目标.

回归分析是处理两个变量之间的关系的一种统计方法与技术，同时也是看待事物的一种统计观念，蕴含着重要的思想方法.因此在教科书编写的过程中，以统计案例的形式呈现其知识内容和主体结构，使学生在解决问题的过程中，领悟统计的思想，从而形成统计观念，充分体现教科书的教育性、科学性、心理性和专业性.但利用回归分析解决问题是建立在统计模型的基础之上，只有使学生亲身经历回归模型建构的全过程，体会其统计模型的作用，感悟其统计思维，才能搭起回归分析与现实世界的有效桥梁.因此，不仅教科书要体现对“三会”的要求，而且在教育教学的过程中，更应该重视、利用一切诸如教材等资源，实现“三会”所要达成的目标，为学生提供最优的课堂教学.