从建立“三心”的视角谈高中数学复习

☉甘肃省天水市秦安第一中学 张玉琴

高考注重对考生能力的考查，这里的能力除了分析问题与解决问题的能力，还有考生的心理承受能力.两军对垒勇者胜，将高考比作两军作战并不为过.因此在平时的复习中，我们要建立“信心”、“细心”和“耐心”.

一、信心

学生到了高三阶段，每周有周测，每月有月考，每学期有期中、期末考试，高考前还有一模、二模，已经进行了大量的实战训练，明确了高考常考题型，以及考查视角、考查方法，甚至某一知识点在高考试卷中的考查位置都了然于胸，那还有什么可畏惧的呢？

以高考中函数考题为例：

考查题型既有客观题又有解答题.客观题主要考查函数的图像、单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点、最值等.

考查视角以函数的零点问题为例，主要有三种视角：

（1）求函数的零点，此类问题经常出现在函数与导数综合的解答题中，转化为求方程的根，再利用因式分解求解.对于不能因式分解的，可通过观察法得出方程的根，再判断其唯一性.

例1求方程1-lnx-x2=0（x＞0）的根.

解析：易得x=1是方程的一个根，那方程是否还有其他的根？此时可利用函数的性质来判断，设f（x）=1-lnx-x2，则，所以函数（fx）在（0，+∞）内单调递减，故函数只有唯一的零点x=1.

（2）判断函数零点所在的区间，此类问题经常借助函数的单调性及零点的存在定理来判断，若函数f（x）在区间（a，b）内单调，且f（a）f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）内存在唯一的零点.若区间端点值已知，可直接代入判断.若区间端点值未知，可选取特殊值来进行判断.

例2求证函数f（x）=ex-lnx-2（x＞0）的最小值大于0.

解析：求导得因为f（′1）=e-1＞0，且在（0，+∞）上单调递增，所以在（0，+∞）内存在唯一的x0，使得，即

当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增.所以f（x）min=f（x0），结合式①得，故问题得解.

本题明为求函数的最值，实为判断导函数零点的存在性及零点所在的区间，通过选取特殊值利用零点存在定理来进行判断.

（3）求函数零点的个数，此类问题可通过判断方程f（x）=0的根的个数或转化为两个函数，看两函数图像的交点个数.

例3已知函数若方程有两个根，则a的取值范围是______.

解法1：由函数的单调性可知，分段函数的两端各有一个根.由，得即

综上可得满足条件的a的取值范围是

解法2：在同一坐标系中作出的图像，如图1所示.

图1

图2

欲使g（x）=2x+a与在x轴的非负半轴有一个交点，则y=2x向上平移时，要小于个单位；向下平移时，不超过个单位.所以

综上可得满足条件的a的取值范围是

对于高考的其他考点，类似上面所述内容，如果我们都做到了心中有数，自然会建立起必胜的信心.

二、细心

“会而不对，对而不全”是解题的大忌，因此对于易混易错的问题，要时常给自己提个醒，细心应对.例如，在函数与导数的复习中容易忽视如下内容：

（1）在处理与函数有关的问题时，易忽视定义域优先原则.

（2）对于函数有多个不连续的单调区间时，要用“和”“，”，不能用“∪”“或”.

（3）“函数在区间（a，b）内单调递增”与“单调增区间为（a，b）”的区间，前者为后者的子集.

（4）在处理底数不确定的指数函数或对数函数的相关问题时，忽视对底数的讨论.

（5）在函数应用中，易混淆“平均变化率”与“增长率”的区别.

（6）“f′（x0）=0”是“x=x0为f（x）的极值点”的必要不充分条件.要判定“x=x0是否为f（x）的极值点，还需判断f′（x）在x＜x0和x＞x0时的符号.

（7）可导函数f（x）在（a，b）上递增（递减）的充要条件是f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）内恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0.在某区间内的个别点处的导数为0，不影响单调性.

例4已知函数，且x=1为f（x）的一

解析：求导得，由f（′1）=0⇒b=3.

本题结论虽然正确，但忽视了“f′（x0）=0是x=x0为f（x）的极值点的必要不充分条件”.要判定x=x0是否为个极值点.

（1）求b的值；（2）略.f（x）的极值点，还需进行检验.（此处略）

例5某地区六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图3所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的为（ ）.

A.第一年到第三年

C.第三年到第五年

B.第二年到第四年

D.第四年到第六年

图3

解析：在本题的求解中，部分考生将“平均增长率”与“平均变化率”混淆，进而比较的大小而造成错选.

设“年平均增长率”为q，则ym（1+q）2=yn（m＜n），即q=-1.因此比较平均增长率的大小，只需比较的大小即可.结合图像易知故选择答案：A.

三、耐心

对于一道题目的解答，既考查了考生的审题能力，也考查了与所学知识建立关联的能力、条件的利用与转化能力、计算能力等，这些内容均涉及了考生的耐心，有一个环节出错，都会功亏一篑.

例6已知函数f（x）=ex-x2-x.

（1）略；

（2）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0.

①先入为主，确定思路.

解析：从求证的结论“存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0”，可知函数f（x）与x轴的负半轴有一个交点（c，0）（c＜0），当x＞c时，f（x）＞0.因此初步确定求解思路，判断函数的单调区间，求函数的极值.

②步步为营，调整策略.

对函数f（x）求导得f′（x）=ex-2x-1，令ex-2x-1=0，注意到方程有一个零点x=0，是否还有其他零点？

设g（x）=ex-2x-1，则g′（x）=ex-2，在区间（-∞，ln2）内，g（x）单调递减；在区间（ln2，+∞）内，g（x）单调递增.g（ln2）=1-2ln2＜0，g（2）=e2-5＞0，所以g（x）在区间（ln2，2）内还有一个零点，设为x0，即ex0-2x0-1=0.进而可知函数

f（x）在（-∞，0），（x0，+∞）内单调递增，在（0，x0）内单调递减.

又f（x0）=ex0-x02-x0，结合ex0-2x0-1=0得.欲

使所证的结论成立，应有f（x0）＞0，但由于之前确定的x0∈（ln2，2），并不能保证f（x0）＞0，故应调整策略，重新确定x0的范围.

进而结论得证.

总之，在复习阶段建立“三心”，既是提高考生解题能力的需要，更是促进考生全面健康发展的需要.排除解题的心理障碍，有利于考生创新思维能力的发展，进而取得良好的成绩.