在高等数学教学中引进数学建模思想的探索

李伟

【摘要】数学建模是一种新的教学方式，有效弥补了传统课程教学的不足，其重在对大学生综合能力素质的培养，将数学建模思想引入高等数学教学中，能够调动学生学习的兴趣，提高其运用数学知识解决实际问题的能力.

【關键词】高等数学;数学建模;探索

高等数学是理工专业学生必修的基础课程，为其更好地学习其他专业课程以及未来更好地适应工作岗位的需要创造了条件.然而，目前各高校高等数学教学情况并不乐观，大部分学生都觉得数学学科太难，不愿意学习，要想改变这一现状，高校就需要革新传统教学思维和方式，教会学生如何更好地运用数学知识解决实际问题.而数学建模就是将现实生活中的实际问题进行提炼，抽象成数学模型，通过求解的方式，对模型的合理性进行验证，其对提升学生的数学成绩有着很大的帮助.

一、在高等数学教学中渗透数学建模思想的重要性

在高等数学教学过程中，传授学生解决问题的方法，并帮助学生去发现、分析及解决问题十分重要.在传统的高等数学课堂教学中，教师是主动的，学生是知识的被动接受者，基本不会参与到教学过程中来，并且，教师在教学过程中通常将目标定在学生对理论层面知识的理解上.通常情况下，大多数高等数学题目都是有答案的，就算学生上课时没有听懂、不会做题，也会按照答案来验证，而在学生未来生活、工作、学习中会面临很多的问题，而这些问题都是不具备答案的，这就需要教师教会学生如何利用数学思维去解决实际生活中遇到的各种问题，提高他们解决问题的能力[1].

在高等数学课堂教学中引入数学建模思想，加强引导，帮助学生更全面地掌握数学本质及思想方式，强化他们的数学意识，对培养他们的数学素养，提高教学质量等各个方面都有着很重要的现实意义.

二、在理论定义中彻底灌输数学建模思想

所谓的理论定义也就是在高等数学教学中涉及的各种概念性知识，通常都比较抽象，难以理解，如，极限、微积分等，这些都是教学的重难点问题，教师在教学过程中，可以在理论知识讲述中灌输建模思想.当然，这里的灌输就是利用问题去引导学生，让他们理解概念，再引入建模思想，如极限的相关概念，教师可以运用学生了解的物理中的电流计算等，将极限概念更直观、形象地进行阐述，在此阶段，最好利用PPT等进行展示，让学生理解更加透彻，口述是无法让学生对这些概念有一个全面认识的.需要注意的是，在高等数学教学中建模思想的引入，必须突出学生的主体地位，从学生的实际需求入手，贴近他们的生活，通过具体的问题展开教学[2].

三、在教学内容中渗透数学建模思想

实际上，在高等数学中许多概念的引入都运用了数学建模思想方式，如研究空间物体的质量引入三重积分有关概念;从对曲边梯形面积的研究引入了定积分有关概念等.教师在讲述知识时，要综合考虑学生数学基础情况，在正式讲课前，搜集有关内容的实例，将高等数学教学与生活实际联系起来，调动学生的学习兴趣.下面就以高等数学教学中数学建模思想实例进行分析.

（一）微分方程

微分方程数学模型是解决实际生活中遇到的问题是非常有力的工具，在全面理解了微分方程建立和求解后将人口模型引入进来：人口增长问题是社会关注的重点问题[3].非常著名的马尔萨斯模型这种微分方程，易于求解，其解表明人口会持续增长.这种模型用来检验过去占有很大的优势，但用来预测未来存在很大的问题，因为它存在一些不合理因素.这源于模型假设：人口增长率之和人口出生、死亡率相关，并且是常数.该假设的提出让模型得到简化，但也表示人口无限制的增长.此外，Logistic模型也属于微分方程数学模型.这一模型主要按时考虑人口数量增长到一定程度后，会出现很多新问题，如食物紧缺、交通拥挤等问题，另外，随着人口数量的不断增多，各种传染病也会不断增多，死亡率会持续上升，这些都会限制人口的无限制增长.处于长远发展考虑Logistic模型更加合理[4].

（二）零点定理

零点定理理解起来比较难，将其运用到教学中仅是对方程根问题的研究.方桌问题：将腿长相等的方桌放到不平整的地面，四条腿是否可以同时着地？该问题是日常生活中我们能够看到的问题，在假设条件下，可以将这一问题抽象成数学问题.通过辅助函数的构建，借助零点定理就能够得到问题的答案.在实际教学中，还可以提出如果桌子为长方形，结论是否成立？借助该模型，可以让学生对建模过程有一个更全面的了解，从而更深入地了解闭区间连续函数的特征，激发了学生数学学习的热情.另外，与生活实际联系比较紧密的巧切蛋糕等问题都可以利用零点定理来构建数学模型[5].

（三）几何概率

在我们生活中存在很多不确定因素，我们在对某一对象进行研究时，通常都会受到这些不确定因素的影响，因而，构建的数学模型所包含的变量也具有随机性，这类模型就叫作随机模型.几何概率模型也就是关于“等可能性”概率问题，在早期的蒲丰几何概率例子中，在平面上画出平行线，各平行线的距离都是定值，再该平面投入一根小于平行间距的针，求出该针和平面上任意平行线相交的概率.需要注意的是，针对该问题构建概率模型，能够发现其与我们熟知的圆周率相关，再通过随机试验，对结果进行检验[6].

随着现代科技的快速发展，依据上述思路出现了蒙特卡罗方法，并得到了有效应用.实际上，我们生活中见得比较多的约会问题也属于几何概率问题，如情侣相约6点～9点在某地见面，先到的人在等候另外一人30分钟后，就可以离开，求情侣能够会面的概率.

在高等数学教学中，合理地引入数学建模思想、方式，积极引导学生应用所学数学知识解决生活实际中遇到的问题，就可以调动学生数学学习的热情与积极性，从而体会到数学学习的快乐[7].

（四）级值与最值问题

最值问题在生活中比较常见，用导数解决生活中的最值问题是高等数学教学的重点内容.教师在对导数相关理论内容讲述后，在将“光学中的折射定理”这一内容引入进去，即光从一种介质进入另一介质时，在界面会出现折射现象.折射现象的产生会导致“最短时间”效益的产生，也就是光线会经过最短的路径.通过相关条件的设定，从而就将该问题转变成求传播实践最小值的问题，通过计算就能够得到折射定理.该定理在高中物理学习中学生就已经掌握了，通过构建数学模型，采用导数问题来解决，使学生对导数的应用问题有了一个更深刻的认识.

四、在数学建模活动中提升学生的综合素质

数学建模活动主要包括数学建模课程、培训、竞赛等.参加过建模活动的学生基本都可以通过搜集、分析数据信息，找出量与量之间的联系，将遇到的问题进行合理假设，从而转化为数学问题，构建数学模型，借助现代信息技术求解所建模型，最后，分析、处理所得出的结果，判断其准确性并解决问题.数学建模活动重点培养了学生应用数学思维方式分析问题的能力、熟练地运用现代信息技术各种数学学习软件的能力、合作能力等[8].

数学建模作为一种非常有效的数学教学方式，其既体现了课内外知识的有效融合，又满足建模知识和提升建模能力的原则，提高了学生用数学知识解决实际问题的能力，提升了学生的综合素质水平.

【参考文献】

[1]孙名义，朱灵敏，赵金明.高职高等数学教学引入数学建模思想的探索[J].浙江海洋学院学报，2017，15（23）：190-197.

[2]李炜键，孙飞，等.在高等数学教学中渗透数学建模思想的探索[J].科学技术创新，2017，20（18）：432-438.

[3]吴挺智，刘广远.关于高职高等数学教学引入数学建模思想的探索[J].产业与科技论坛，2016，12（7）：421-427.

[4]贾羽，任瑛.卢敏华.数学建模思想在高等数学教学中的有效运用初探[J].桂林航天工业高等专科学院学报，2015，26（15）：368-372.

[5]周侃，朱明祥，周莲.将数学建模思想引入经管类高等数学教学[J].科学技术创新，2015，10（2）：274-275.

[6]王健，苑海峰，等.在高等数学教学中如何体现数学建模的思想[J].黑龙江科技信息，2016，15（15）：116-125.

[7]王苗苗，刘华.刍议如何在高职高等数学教学中渗透数学建模思想[J].桂林航天工业高等专科学院学报，2015，12（9）：335-339.

[8]李炜键，孙飞，等.在高等数学教学中体现数学建模思想的方法[J].黑龙江科技信息，2016，20（32）：589-567.