蹊径通幽处，精彩别样来

丁建娣

[摘           要]  在双曲线轨迹问题的教学中，发现学生不能正确解释轨迹方程xy=±k（k>0）是双曲线的属性，由此引发思考，通过建系角度转换、双曲线性质深度探究、函数y=x+■（x≠0）图象属性广度拓展以及跨度梳理，沟通了解析几何与函数的关系，从而提升学生对数学的统一性认知，养成数学学习的良好思维品质。

[关    键   词]  函数;双曲线;挖掘

[中图分类号]  G712                 [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2019）14-0102-02

在高中阶段的解析几何双曲线教学中，笔者重新引用了曲线与方程的一个例题：点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k（k>0），求点M的轨迹方程.这道题的常规解法，我们都很自然地以这两条互相垂直的直线作为x轴、y轴，得到点M的轨迹方程为xy=±k（k>0）。但是在探究点M的轨迹时，学生无法解释xy=±k（k>0）是双曲线的属性，由此引发了笔者的思考。笔者在教学过程中，通过建系角度转换、性质深度探究以及函数y=x+■（x≠0）广度拓展与跨度梳理，沟通了解析几何与函数的关系。

一、角度转换，认识双曲线

从轨迹方程xy=±k（k>0）入手考虑问题，学生很快转化到函数y=■（k≠0）的形式，而函数是初中阶段已经学习过的反比例函数，初中数学教材中，已明确给出结论：函数的图象是双曲线，比例系数k的代数意义是反比例函数图象上的点（x，y）具有两坐标之积为常数的特征，几何意义是图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k。若以函数观点分析，无法抓住轨迹的属性，可能时间耗尽却收效甚微。我们不妨换个视角，通过角度变换来建系，使得轨迹的属性简单点。

解：如图1，分别以这两条互相垂直的直线的角

平分线作为x轴、y轴，则l1：x-y=0，l2：x+y=0。

设动点M（x，y），由题意可得

■·■=k， ∴|x2-y2|=2k2，

∴■-■=1或■-■=1。

对两条确定的直线l1和l2，点M的轨迹是确定的。由于建系的不同，我们求得的轨迹方程形式上也不同，但这不会改变图象的形状，故课本中求得的曲线xy=±k（k>0）也是两条双曲线，而且是一对共轭双曲线。这里我的感触颇深，这种建系方法一般我们不会考虑，但其实如此建系不也一般嘛，中间的运算量也不算大，最主要地是轻松解决了我们的问题。

二、深度探究，研析双曲线

通过建系角度的变换，我们发现直线l1、l2是求得双曲线的两条渐近线，而这两条渐近线具有互相垂直的特点，那么我们在反思问题解决的过程时，提出了：

问题一：与两条相交直线的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹是一对共轭双曲线，这两条相交直线是它们的渐近线。

证明：如图2，以AB、CD的交点为原点O，以∠AOD角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设动点M（x，y），

AB∶y=mx CD∶y=-mx（m是常数，m>0），

由题意可得，■·■=k，化简得

■-■=1或■-■=1.

∵这两条双曲线是共轭双曲线，且渐近线是y=±mx，∴求证结论成立。

问题二：双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积

是常数。

证明：如图3，选择双曲线：■-■=1（a>0，b>0）研究双曲线这一几何性质，渐近线：bx±ay=0。

设m（x，y）是双曲线：■-■=1（a>0，b>0）上任一点，则得b2x2-a2y2=a2b2。

∴点M到双曲线的两条渐近线的距离之积

■·■=■=■，∴求证结论成立。

综合问题一、问题二可得：

（Ⅰ）与两条相交直线的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹是一对共轭双曲线，这两条相交直线是它们的渐近线。该结论可作为共轭双曲线的定义和双曲线渐近线的定义，对教材中双曲线渐近线的描述性定义进行了突破，前者更可用于对曲线形状的判断。

（Ⅱ）双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.这一关系反映了双曲線的一个几何性质，也反映了双曲线和它的渐近线之间的紧密联系。

三、广度拓展，挖掘双曲线

从函数y=x+■（x≠0），到函数y=x+■，再到一般函数y=ax+■（x≠0），其中（a>0，b≠0，a、b是常数），我们在研究完它的单调性后，对其函数图象形状或者避而不谈，或者直接通过函数的一些性质画草图，对图象的本质属性问题总是存在一定的欠缺。

通过对（Ⅰ）、（Ⅱ）两个结论的探讨，现在我们可以明确地说，函数的图象是双曲线。函数y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的图象是一对共轭双曲线，其中a>0，b>0，a、b是常数，直线y=ax和y=0是它们的两条渐近线。

证明：设M（x，ax+■）是函数y=ax+■（x≠0）上任一点，点M到直线x=0的距离d1=x，M到直线y=ax的距离d2=■=■

∴点M到直线x=0和直线y=ax的距离之积

d1×d2=■为常数。

同理可证，函数y=ax-■（x≠0）也具有以上性质。

由（Ⅰ）、（Ⅱ）的两个结论可知：函数y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的图象是一对共轭双曲线，其中a>0，b>0，a、b是常数，直线y=ax和x=0是它们的两条渐近线，突破了对以上两个函数图象形状确定的难点。

四、跨度梳理，融通双曲线

平面解析几何是用代数方法研究平面几何问题的一门学科，平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。代数式与几何图形水乳交融，合为一体。而函数在代数中扮演着十分重要的角色，尤其在高中数学的学习中具有提纲挈领的作用。而函数学习，函数图象是研究的手段，与函数密切联系，如影随形.数学的学习是一个从“特殊→一般→特殊”不断演变、不断发展的过程，上述两者之间的关系可通过“函数解析法y=f（x）（x∈A）的表示”与“曲线及其方程概念的理解”来加以区别。从这一点上来看，我们可以说函数内容是平面解析几何内容的特殊情况，形象地用韦恩图加以描述，如图5。

笔者认为，无论是我们教师自身的学习还是指导学生的学习都应该源于课本，又高于课本。对问题的思考不是浅尝辄止，拘泥于某些定性思维，而是倡导创新思维，敢于打破常规分析问题，蹊径通幽解决问题。我们应经常有意识地鼓励学生对一些看起来“风马牛不相及”的知识内容进行深入挖掘，使之融会贯通，进一步达到思维的升华，这对帮助学生积极主动地学习、提升数学的统一性认识，养成数学学习的良好思维品质大有裨益。

编辑 王 敏