导数在高中数学解题中的有效应用

广西北海市合浦县廉州中学 钱晓萍

一、导数

高中数学中，教师在开展关于导数解题内容教学的过程中，需要始终遵循几大原则：①将学生作为教学活动开展的主体。②为同学们所展示的题目应该具有良好的代表性或者典型性。③课堂时间有限，因此向学生讲解题目的个数应该适量，追求讲题质量，保证符合学生的接受能力。④导数内容的教学过程不能一蹴而就，应该经历循序渐进的诱导过程。⑤合理选用教学模式，以多样化形式激发学生的学习热情。⑥课内外相互渗透。

二、导数在高中数学解题中的实际应用

1.函数最值

高中数学中的函数最值问题，一直是学生学习的重点和难点，在将导数知识融入高中阶段数学教材之前，对函数最值求解的方法多种多样。而在将导数引入教材之后，对最值求解的题目，不但为学生提供了一种解题思路和方法，也为很多题目的解题提供了更大的便利。二次函数属于函数最值当中比较经典的题型，在绝大多数高考题目当中，二次函数所对应的区间最值，指的是二次函数所处特定区间中的最小值或者最大值，该类题目当中通常会含有参数，属于高考当中的重点与难点。倘若利用数形结合的方式对该类题目进行解答，其过程会十分复杂，而应用导数则会显得十分简便、清晰。导数最为主要的作用是对函数在区间当中单调性以及极值点的判断，题目解析的关键在于考察学生二次函数极值点跟区间之间的相对位置。

例1：在已知a∈R的情况下，分析函数f（x）=ex（x2+ax+a+1）极值的具体个数。

解：f'（x）= ex（x2+ax+a+1）+ ex（2x+a）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]，

若使f'（x）=0，则可得x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

（1）在Δ=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0，也就是a＜0或者a＞4的情况下，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

有两个不同实根x1与x2，我们假设x1＜x2，

依据f'（x）=ex（x-x1）（x-x2），获得下表：

x (-∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)f '(x) + 0 - 0 +f (x) ↗ f (x1)是极大值 ↘ f (x2)是极小值 ↗

所以，在这种情况下，f（x）具有两个极值点。

（2）在Δ=0，也就是a=0或者a=4的时候，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0 有两个相同实根 x1=x2，所以 f'（x）= ex（x-x1）2。

所以在x＜x1的情况下，f'（x）＞0；在x＞x2的情况下，fˊ（x）＞0，所以f（x）没有极值。

（3）在Δ＜0，也就是0＜a＜4的时候，x2+（a+2）x+（2a+1）＞0，

f'（x）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）] ＞ 0，所以f（x）是增函数，这个时候f（x）没有极值。

2.函数单调性

在将导数引入高中数学教材之前，对函数单调性的判断所应用最常规的办法为定义法，不过定义法通常被用在对一些简易函数单调性的判断，如果有复杂程度稍高的函数，应用定义法进行判断便显得十分繁琐。相比之下，利用导数进行函数单调性判断更为简便。应用导数对函数单调性判断的主要原理是，对于一个函数f（x），倘若其导数f'（x）在区间[a，b]上大于0，那么函数f（x）在区间[a，b]中则单调递增，反之则单调递减。

例2：已知有函数f（x）=x2eax（a≤0），分析f（x）的单调性。

解：f'（x）=x（ax+2）ex。

在a＞0时，使f'（x）=0，则得到x=0，

如果x＞0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）当中便是单调递增；

如果x＜0，则f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）当中便是单调递减。

在对此类型题目进行解答的过程中需要关注两个方面：①要对常见函数导数的求法形成良好掌握，特别是对复合函数相应函数的求法要形成足够的重视。②在对函数单调性质进行说明的过程中，必须要说明在哪个区间当中所呈现何种单调性。

总而言之，导数与其他数学知识点之间的相互融合，已经成为目前高考考察的重点内容，必须对其形成足够的重视。作为一名高中数学教师，应该在日常工作中积极探索，对国内外其他优秀教育工作者的优秀教育经验与理念加以借鉴，继而与自身的实际教学情况相结合，创建出一套更为优质的教学体系，为国家教育事业的发展贡献出自己的力量，为国家培养出一批又一批现代化人才。