探求高中数学的“轨迹问题”

江苏省常熟外国语学校 徐莉娇

伴随时代发展，高中数学教材也随之进行了不断变化，但“轨迹问题”始终是高中数学教材中相当重要的一部分内容。“轨迹问题”在高中数学教材中的作用，是让学生在探究轨迹方程实质的过程中，实现从“形（曲线）”向“数（方程）”的思维转化过程，这是培养高中生数学思想方法的一条最佳路径。同时，从历年高考的“出镜率”来看，“轨迹问题”均是重点与热点。特别是倡导素质教育的新时期，“轨迹问题”在培养高中生创新意识，提高运算、思维、分析等数学能力上，都将是一个有利的切入点。然而，也正是由于“轨迹问题”的抽象性，也给学生学习带来了一定困难。如何在教学与复习中，帮助高中生突破学习瓶颈，探求“轨迹问题”教学的有效方法，是本文的主旨。以下是结合教学实践对此展开的深入思考与研究。

一、高中生在“轨迹问题”上的学习困难

结合多年从教经验，在高中数学“轨迹问题”的学习中，学生大多存在以下几种情况：

1.对“概念本质”把握不准

如：“动圆M和圆C1：（x+1）2+y2=36内切，和圆C2：（x-1）2+y2=4外切，那么圆心M轨迹方程是怎样的？”这类例题学生在求解过程中，要注意在作图时应考虑相切时的图形特征，在得到“|MA|+|MB|=8”的方程之后，可利用轨迹椭圆概念直接写出轨迹方程。但在实际求解时，由于对概念本质把握不够，就会有学生采取距离公式进行列式求解，列出“”，然后进行移项、平方，最后求出轨迹方程，导致求解步骤增多，求解时间增加，无形中提高了解题错误率，降低了解题效率。

2.对“隐含条件”容易忽视

在数学问题中，总有一些含而不露，若明若暗的已知条件隐藏于题目之中，或者存在一些借助表面条件进行变形、推理之后再产生新条件的隐含条件，如果学生不能够及时发现与利用这些条件，就会出现错解、不完整解答，甚至找不到解题有效路径的情况。如“在平面直角坐标第xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个动点A和B，满足图中所示，即OA与OB垂直的条件，求△AOB的重心G的轨迹方程。”这类问题进行求解时，很多学生都会出现两个答案，即“y=3x2”或者是“y=3x2+”。为什么会出现这样的错解？就是因为在解题过程中，学生忽略了△AOB在“x1x2=0”的时候是不可能存在的，所以最终的答案只能是“y=3x2+”。

3.对问题思考得不全面

由于“轨迹问题”的抽象性特征，如果学生对问题研究不透，知识基础不牢，在发现问题和分析问题的过程中就会产生思维上的死角，因为考虑问题不全面而出现解题偏差和错误。如：“已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（c,0）和 F2（-c,0），椭圆外有一动点Q，且F1Q=2a，该椭圆与线段F1Q相交于P点；线段F2Q上有一点T，且“=0,且|TF2|≠0，求点T的轨迹C的方程。”求解这类轨迹问题时，即使是平常较为优秀的学生也会因为片面化考虑而产生错误答案，出现以下错误解题过程：“通过焦半径公式可以得到假设T点坐标是（x,y），那么从=0可以得出：在△QF1F2中，，因此得出其实只要学生认真思考，就会找到正确的解题思路，可以使用代入法先将PF1=a+求出，再假设T点坐标（x,y），最后求出“x2+b2=a2”的轨迹方程。或者采取相关法，先将|PF1|=a+x设T点坐标（x,y）求出，最后求出正确答案。

二、“轨迹问题”的有效教学方法

在高中数学“轨迹问题”学习中学生存在的问题和困难固然有知识本身抽象属性的原因，也有学生自身学习能力的原因，但笔者认为，要想让高中生学好高中数学“轨迹问题”，掌握到正确且高效的学习方法，最重要的还需要教育者改变教育观念，创新教学模式。波利来曾经指出：无论学生学习什么知识，只有一条最佳途径，那就是自己发现。这种发现会产生最深刻的理解，也能够让学习者很快掌握到知识的本质、规律和内在联系。故为了可以让高中生更快、更好、更自然地突破在“轨迹问题”学习过程中的瓶颈，就要让他们参与到知识生成、发展过程来，成为主动构建知识的主体。以下以《圆锥曲线的统一定义》一课为例，对高中数学“轨迹问题”的教学实践与探究。

步骤1：之前和大家一起学习了抛物线、双曲线以及椭圆这些定义，大家是不是可以进行简单叙述？抛物线、双曲线和椭圆被统称圆锥曲线，那么大家是不是可以从之前的知识回顾中对圆锥曲线进行一下统一定义？抛物线从P点（动点）到F点（定点）的距离和到定直线l的距离是相等的，即距离比为1。那么如果这个比值变为不再等于1的一个常数时，P点的轨迹曲线是怎样的？

【设计理念】让学生回顾知识的目的在于巩固知识的同时让学生注意到这些定义之间存在的差别，并从中对“圆锥曲线是不是可以形成统一定义”这个问题进行联想、思考和尝试。

步骤2：自主探究并猜想：“平面内到定点F（-3，0）与到一条定直线=3之间距离比为2或者是，动点P会产生怎么样的轨迹？”

【设计理念】以问题探究引导学生参与，通过对轨迹图形的猜想帮助学生进行数学建模。

师：怎样证明得到的这个圆形是椭圆？

学生在教师的提示下发现了“不关于原点对称”的图形特征。

步骤3：猜想：“平面直角坐标系里，是不是存在一定直线与定点，能够让椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点P（x,y）到定直线与定点距离比为一个定值？”

学生思考后想到该定点是焦点。老师继续问题引导：“如果产生两个焦点，其中一个定点为F2,那么怎么表示|PF2|,它的最大值与最小值分别是什么？”有的学生列出下式：所以可以得出|PF2|只和点P横坐标x有关。

【设计理念】从曲线概念复习入手，让学生主动参与到知识建构中来，尝试着对“统一定义”的正确答案进行猜想与论证。通过“问题串”将学生的思维引向探究的深度，得到定值、定直线这样的探究结果，并对自己的猜想进行了合理解释，最后比较客观地将椭圆第二定义得出，再与双曲线定义进行类比，辅以练习题加深知识理解和知识应用。

整个教学过程中所涉及的问题，都是之前学生比较熟悉的“动点到定点距离最值”的问题，学生很快就找到了处理这类问题一些有效的方法，如化简、消元等，并且相对自然和顺利地就通过自主探究得到双曲线和准线，掌握了如何通过“化斜为直”数学思想方法来解决曲线上某一点与焦点距离的问题。在亲历知识形成的整个过程中，学生体验到了如何将代数运算运用于解析几何中并对几何性质加以证明的“精髓”所在，为之后如何处理定值与定点问题提供了鲜活直观的范例，也为后续学习夯实了基础，创造了条件。从教学过程中看，学生都表现出了较高的参与度，探究过程也相对顺畅自然，不但给学生提供了运用之前所学内容解决新问题的机会，也让他们“如何更好地解决问题”的思想和欲望更加强烈，自主学习的热情和效果显而易见，“轨迹问题”也不再是“问题”。

如何上好新时期的一节数学课，需要的是教育者不断的自我反思和自我调整，要与教学规律更加契合。思考在教学任务应采取怎样的方式呈现。学生参与知识建构的热情如何激发？等问题，比单纯思考学生到底掌握了多少基础知识更加重要。要让每个学生均有所获，让“轨迹问题”成为学习快乐的源泉，让数学课堂充满着活力、魅力、生命力。